Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

x
ga teng, uning yuzi 
25
2
10
4
2



x
x
yig‘indidan yoki x
2
+10x+25=39+25=64 dan iborat, ya‘ni katta kvadratning SE 
tomoni 
8
64

bo‘ladi. Demak, 
8
2
10


x
yoki x+5=8, bundan x=3. Noma‘lum ―x‖ ni yana 
bunday 
ifodalash 
mumkin: 
39
25
64
2
10




x
. 
Bundan 
8
64
39
25
39
4
10
4
2
10
2














x
yoki 
3
5
8



x
. 
Bundan 
2
10
39
4
10
4
2










x
. 

---

78 
Agar bu formula 
c
bx
x


2
tenglamaga tatbiq etilsa: 
2
4
4
2
b
c
b
x










yoki
2
2
2
b
c
b
x









bo‘ladi. 
Xorazmiy x
2
+bx=c tenglamani yana boshqa bir shakl bilan tushuntiradi: bunda AB 
kvadrat, ya‘ni x
2
olinadi, balandligi 5 ga teng ikkita to‘g‘ri to‘rtburchak yasaladi. Bu shaklni CE 
kvadratga to‘ldirish uchun tomoni 
5
2
10

bo‘lgan kvadrat olinadi. Katta CE kvadratning yuzi 
x
2
+10x+25=39+25=64 bo‘ladi. Katta kvadrat SE ning tomoni esa x+5=8 bo‘lib, bundan x=3 
bo‘ladi. (2-shakl)
C 
A
X
2
b 
5 
x 
E 
Xorazmiy, kvadrat tenglamalarni e‘tiborga olmaydi. Shuni qayd etish kerakki, Xorazmiy 
asarlarida son tushunchasi, yunon matematiklariga qaraganda ancha keng miqyosda qo‘llaniladi, 
ya‘ni uning asarlarida irrastional sonlar tushunchasi ham uchraydi, ammo u manfiy ildizlarni 
qaramaydi. 
Shunday qilib hozirgi belgilashlarga asosan 
0
2



c
bx
x
shaklida yoziladigan kvadrat 
tenglamaning ildizlarini topish formulasi: 
c
b
b
x










2
2
2
birinchi marta Xorazmiy asarlarida 
uchraydi. Bunda u c>
2
2






b
bo‘lgan holda, masalaning echilishi mumkin emas deb yozadi. 
5. ―Kvadratlar va son ildizlarga teng‖, ya‘ni 
bx
c
ax


2
shaklidagi kvadrat tenglamani, 
masalan, 
x
x
10
21
2


ni echish uchun Xorazmiy shunday yozadi: ―agar sen aytsangki, kvadrat va 
yigirma bir dirham o‘nta ildizlarga teng, u vaqtda buning ma‘nosi shuki, agar kvadratga yigirma bir 
dirham qo‘shilsa, o‘nta ildiz hosil bo‘ladi‖. 
So‘ngra quyidagi qoidani bayon etadi: ―Ildizlar sonini ikkiga bo‘l, 5 chiqadi, uni o‘z-o‘ziga 
ko‘paytir, 25 bo‘ladi, bundan 21 ni ayir, 4 qoladi. Bundan ildiz chiqar, ikki bo‘ladi. Buning ildizlar 
sonining yarmidan, ya‘ni beshdan ayir, 3 qoladi. Mana shu sen izlagan kvadratning ildizi bo‘ladi. 
Agar bu ildizni ildizlar sonining yarmiga qo‘shsang, 7 bo‘ladi, bu ham sen izlagan kvadrat 
tenglamaning ildizi bo‘ladi, kvadratning o‘zi esa 49 bo‘ladi. 
Hozirgi belgilashlarga asosan bu jumlalar ma‘nosini 
21
2
10
2
10









x
formula bilan 
ifodalash mumkin. ―Qachonki, sen shu holda to‘g‘ri keladigan misol uchratsang, avval uni echishni 
qo‘shish bilan sinab ko‘r va bu ish maqsadga olib kelmasa, u vaqtda ayirish albatta maqsadga olib 
keladi, chunki bu holda ham qo‘shish ham ayirishni tatbiq etish mumkin‖. Xorazmiy qo‘shish va 
ayirishni tatbiq etish boshqa hollar uchun, masalan, 4 va 6-shakldagi hollar uchun tatbiq etilmaydi, 
deb yozadi, chunki u vaqtda manfiy ildiz ham kelib chiqadiki, bu holni Xorazmiy mumkin 
bo‘lmagan hol deb qaraydi. 
A E B F A
C
M 
K 
H 
L 
G 
K 

---

79 
G 
E 
D F B 
W D H C 
4-shakl 6-shakl. 
Xorazmiy, agar tenglamadagi x
2
oldida koefistient bo‘lsa, avval tenglamaning hadlarini u 
koefistientga bo‘lib, so‘ngra aytilgan qoida bo‘yicha tenglamalarni echish mumkinligini qayd etadi. 
Shunday qilib, x
2
+s=bx umumiy shakldagi tenglamani echish uchun Xorazmiyning 
qoidasini