|
1. BOSHLANG‘ICH TUSHUNCHALAR
Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida
tushunchalar.
Ikki noma’lumli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan
u=u
(
x
,
y
) funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilali
differentsial tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz.
0
)
,
,
,
,
,
,
,
(
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
u
y
x
F
,
(1.1)
bu yerda
x
,
y
erkli o‘zgaruvchilar,
u
izlanayotgan noma’lum
funktsiya,
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
,
,
,
,
lar
x
,
y
erkli o‘zgaruvchilar
bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalar.
(1.1) tenglamaning yechimi deb, uni ayniyatga aylanti-
ruvchi
u=u
(
x,y
)
funksiyaga aytiladi. Bu yechim grafigi
Oxyu
fazoda sirtni ifodalaydi.
Agar (1.1) tenglamada
u
izlanayotgan noma’lum
funksiya va uning xususiy hosilalari
yy
xy
xx
y
x
u
u
u
u
u
,
,
,
,
ning
darajalari birinchi bo‘lsa hamda ularning ko‘paytmalari ishtirok
etmasa bunday tenglama chiziqli deb ataladi. Uni quyidagicha
yozish mumkin:
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
F
cu
y
u
b
x
u
ŕ
y
u
Ń
ó
x
u
Â
x
u
Ŕ
, (1.2)
bu yerda
A,B,C
,
a,b,c
koeffitsentlar o‘zgarmas
yoki
x,y
erkli
o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘lishi mumkin.
(1.2) o‘zgarmas koeffitsentli tenglama bo‘lsin.
(1.2) tenglama diskriminanti
D=AC-B
2
ni hisoblaymiz,
buning ishorasiga qarab tenglama turini aniqlaymiz:
agar
D>0
(1.2) elliptik turdagi tenglama;
agar
D=0
(1.2) parabolik turdagi tenglama;
agar
D<0
(1.2) giperbolik turdagi tenglama.
Chekli ayirmalar yoki to‘r usuli haqida tushunchalar.
Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli
yechimini topishda eng qulay usullardan biridir.
Bu usulining asosida hosilalarni chekli ayirmalar nisbati
bilan almashtirish qoidasi yotadi. Aytaylik,
Oxy
koordinatalar
47
tekisligida chegarasi G chiziq bilan chegaralangan yo‘yiq G
soha berilgan bo‘lsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel
bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar oilasini quramiz:
m
k
kh
y
y
n
i
ih
x
x
i
i
,...,
2
,
1
,
0
,
,...,
2
,
1
,
0
,
0
0
Bu
to‘g‘ri
chiziqlarning
kesishish nuqtalari tugunlar deb
ataladi. Hosil bo‘lgan to‘rda ikki
tugun qo‘shni tugun deb ataladi.
Agar ular biri ikinchisidan
Ox
yoki
Oy
koordinata o‘qlari yo‘na-
lishida
h
yoki
l
masofada joylash-
1-rasm.
gan bo‘lsa G+Г sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi
G dan
h
yoki
l
qadamdan kichik masofada turgan tugunlarni
ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan to‘rtta
tugun ajratilgan tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugun ichki
tugun deb ataladi. (1-rasm, masalan, A tugun). Ajratilganidan
qolganlari chegara tugunlari deb ataladi (1-rasm, masalan, B va
C tugunlar).
Noma’lum
)
,
(
y
x
u
u
funksiyaning tugunlaridagi qiy-
matini
)
,
(
0
0
kl
y
ih
x
u
u
ik
kabi belgilaymiz. Har bir
)
,
(
0
0
kl
y
ih
x
ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar
nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:
,
2
)
(
;
2
)
(
1
,
1
,
,
1
,
1
l
u
u
y
u
h
u
u
x
u
k
i
k
i
ik
k
i
k
i
ij
chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo‘lgan quyidagi
formular bilan almashtiramiz:
.
)
(
;
)
(
1
,
,
1
l
u
u
y
u
h
u
u
x
u
ik
k
ik
ik
ik
k
i
ik
Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni
quyidagicha almashtiramiz:
48
.
2
)
(
;
2
)
(
2
1
,
1
,
2
2
2
,
1
,
1
2
2
l
u
u
u
y
u
h
u
u
u
x
u
k
i
ik
k
i
ik
k
i
ik
k
i
ik
(1.3)
Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilali teng-
lamalarning o‘rniga chekli ayrimali sistemani yechishga olib
keladi.
Elliptik turdagi tenglamaga qo‘yilgan Dirixle masalasi
uchun to‘r usuli.
Birinchi chegaraviy masala yoki ushbu
)
,
(
2
2
2
2
y
x
f
y
u
x
u
č
(1.4)
Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasi quyidagicha
qo‘yiladi. G sohaning ichki nuqtalarida (1.4) tenglamani va
uning chegarasi G da esa
u
G
=
(
x
,
y
) (1.5)
shartni qanotlantiruvchi
u=u
(
x
,
y
) funktsiya topilsin. Mos
ravishda
Ox
va
Oy
o‘qlarida
h
va
l
qadamlarni tanlab,
,...)
2
,
1
,
0
(
,
,...)
2
,
1
,
0
(
,
0
0
k
kl
y
y
i
ih
x
x
k
i
to‘g‘ri chiziqlar yordamida to‘r quramiz va sohaning ichki
tugunlaridagi
2
2
2
2
,
y
u
x
u
hosilalarni yuqoridagi (1.3) formula-
larga ko‘ra almashtirib, (1.4) tenglamani quyidagi chekli
ayirmali tenglama bilan almashtiramiz:
ik
k
i
ik
k
i
k
i
ik
k
i
f
l
u
u
u
h
u
u
u
2
1
,
1
,
2
.
1
,
1
2
2
, (1.6)
bu yerda
)
,
(
k
i
ik
y
x
f
f
. (1.6) tenglama sohaning chegaraviy
nuqtalaridagi
ik
и
qiymatlari bilan birgalikda
)
,
(
k
i
y
х
tugunla-
ridagi
u
(
x
,
y
) funktsiya qiymatlariga nisbatan chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistema to‘g‘ri-
burchakli sohada va
l=h
bo‘lganda eng sodda ko‘rinishga ke-
ladi. Bu holda (1.6) tenglama quyidagicha yoziladi:
49
ik
ik
k
i
k
i
k
i
k
i
f
h
u
u
u
u
u
2
1
,
1
,
,
1
,
1
4
(1.7)
yoki
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
f
h
u
u
u
u
u
,
2
1
,
1
1
,
1
1
,
1
1
,
1
,
2
)
(
4
1
.
(1.8)
Chegaraviy tugunlardagi qiymatlar esa chegaraviy
funksiya qiymatlariga teng bo‘ladi.
Differensial tenglamalarni ayrimalar bilan almatirish
xatoligi, ya’ni (1.8) tenglama uchun qoldiq had
i,k
R
quyidagicha
baholanadi:
,
6
4
2
,
M
h
R
k
i
bu
yerda
4
4
4
4
4
,
max
y
u
x
u
M
G
.
Ayrimalar usuli bilan topilgan taqribiy yechim xatoligi
uchta xatoligidan kelib chiqadi: 1) differensial tenglamalarni
ayrimalar bilan almashtiridan; 2) chegaraviy shartni ap-
proksimatsiya qilishdan; 3) hosil bo‘lgan ayrimali tenglamalar-
ni taqribiy yechishlardan.
2. MASALANING QO‘YILISHI
Kurs ishi topshirig‘i masalasi
.
Ushbu
1
0
,
1
0
:
,
G
2
1
2
1
x
x
x
x
sohada
0
,
,
,
,
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
x
x
f
U
x
x
q
x
U
x
x
k
x
x
U
x
x
k
x
(2.1)
tenglama, G sohaning Г – kvadrat chegarasida
0
U
(2.2)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi
U
(
x
1
,
x
2
) funksiya uchun
Dirixle masalasini o‘zgaruvchan yo‘nalishlar usuli bilan yech-
ing, bunda
;
1
)
2
2
/
3
(
)
2
2
/
3
(
,
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
50
2
1
,
1
2
1
1
x
x
x
k
;
2
1
,
2
2
1
2
x
x
x
k
;
1
2
1
1
,
x
x
x
q
.
(2.1), (2.2) masalaning aniq yechimi:
2
2
1
1
1
1
x
x
x
x
U
.
Dirixle masalasi quyidagicha
: Ochiq
G
kvadratda
(2.1) tenglamani qanoatlantiruvchi va shu kvadratning che-
garasida 0 ga aylanuvchi, ya’ni (2.2) shartni qanoatlantiruvchi
va ochiq
G
sohada uzluksiz
U
(
x
1
,
x
2
) funksiyani topish talab
etiladi.
Bunda
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
,
,
,
,
,
,
,
x
x
f
x
x
q
x
x
k
x
x
k
lar
quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi yetarlicha silliq funksiya-
lar:
2
2
1
1
1
,
0
c
x
x
k
c
;
2
2
1
1
,
0
d
x
x
q
d
(2.3)
Do'stlaringiz bilan baham: |
