Research and publications

3. Isboti.
ABC-berilgan to‘g‘ri burchakli ucburchak bo‘lib 
uning B burchagi to‘g‘ri burchak bo‘lsin. 
B
A C 
Burchak cosinusi va sinusi tarifiga ko‘ra: 
,
Trigonometriyaning asosiy birinchi ayniyatiga ko‘ra: 

---

621 
Bu ifoda
Yoki, 
oxirgi ifodaning ikkala tamonini ham
ni ko‘paytirib, 
quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. 
bu esa pifogor teoremasini isboti ekanligini 
ko‘rsatadi. 
4. Isboti.
(To‘g‘ri burchakning gipotenuzadagi proyeksiyalari bo‘yicha ). ABC-
berilgan to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘lib, uning B burchagi to‘g‘ri burchak bo‘lsin. 
Bu uchburchakda 
AB=b, BC=a, AB=c, AD=x, DC=y, 
ko‘rinishdagi belgilashlar kiritamiz. 
Katetlarning gipotenuzadagi proyeksiyalariga
A 
x c 
b D 
y 
a 
B

---

622 
C ko‘ra:
bu ikki tenglikni qo‘shib , quyidagi natijalarga ega bo‘lamiz: 
yoki
Ekanligi kelib chiqadi
. bu esa teorema o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi. 
5. Isbot. 
(kosinuslar teoremasiga ko‘ra ). ABC-berilgan to‘g‘ri burchakli 
uchburchak bo‘lib, uning B burchagi to‘g‘ri
burchak bo‘lsin.
A 
B C 
Bu uchburchakda: 
AB=b, BC=a, AB=c ko‘rinishdagi belgilashlarni kiritamiz, 
Demak kosinuslar teoremasiga asosan:

---

623 
yoki buni soddalashtirsak quydagi natijaga
ega bo‘lamiz. 
Bundan esa,
ekanligi 
kelib chiqadi. Demak ,teorema isbotlandi.
 6. Isbot.
 
c c 
b 
b b c
b a c 
a a 
a 

---

624 
Bizga tamonlari a,b va c bo‘lgan to‘g‘ri burchakli
uchburchak berilgan bo‘lsin. 5-rasmdagi gipatenuzadan yasalgan kvadratni alohida
chizib olib, kvadratning tamonlarini berilgan uchburchakning katetlari
b a 
a
b 
c c
b
c c
a 
a b
b
b
b 
b

---

625 
yordamida kvadrat tamonlarini to‘ldiramiz va 6- va 7-rasmlarni hosil qilamiz. Bizga 
ma‘lumki, yuqorida berilgan tog‘ri burchakli uchburchakning yuzasi: 
ga teng. 
Bundan foydalanib, 
larni yozish mumkin. 6-rasimdagi 
hosil bo‘lgan figuraning yuzi: 
(1) 
ga teng. 7-rasmdagi hosil bo‘lgan figuraning yuzi esa 
(2) 
ga teng. Hosil ikkala to‘rtburchakning yuzasi tengligi uchun (1) 
va (2) ifodalarni tenglashtirish mumkin. Ya‘ni
ni hosil qilish mumkin. Bu ifodani soddalashtirib, quyidagilarni hosil qilish mumkin. 
.
Bu esa pifagor teoremasini isbotlaydi. Demak teorema isbotlandi.