U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

         5-teorema. Ixtiyoriy chekli 
 
 
   
 
 to„plamlar uchun  
|     |   | |   | |   | 
 
   
 
|  
va  
|     |   | |   | |   | 
 
   
 
| 
tengliklar o„rinli. 
         6-teorema. Ixtiyoriy chekli 
 
 
   
 
       
 
 to„plamlar uchun  
| 
 
   
 
       
 
|   | 
 
|   | 
 
|       | 
 
|   | 
 
   
 
|   
 | 
 
   
 
|       | 
   
   
 
|   | 
 
   
 
   
 
|    
  | 
   
   
   
   
 
|           
   
| 
 
   
 
       
 
| 
hamda        
| 
 
   
 
       
 
|   | 
 
|   | 
 
|       | 
 
|   | 
 
   
 
|   
 | 
 
   
 
|       | 
   
   
 
|   | 
 
   
 
   
 
|       
 | 
   
   
   
   
 
|           
   
| 
 
   
 
       
 
| 
tengliklar  o„rinli.  
         Isboti:   
| 
 
   
 
       
 
|   | 
 
|   | 
 
|       | 
 
|   | 
 
   
 
|   
 | 
 
   
 
|       | 
   
   
 
|   | 
 
   
 
   
 
|       
 | 
   
   
   
   
 
|           
   
| 
 
   
 
       
 
| 
o„rinli  ekanligini  isbotlash  uchun  matematik  induksiya  usulidan 
foydalanamiz.  
        Induksiya  bazasi: 
       uchun  formula  5-teoremaga  asosan 
to„g„ri.  
        Induksion  o‘tish:  teoremani 
       uchun  to„g„ri  deb  faraz  qilib, 
           bo„lgan  hol  uchun  o„rinli  ekanligini  ko„rsatamiz.  U  holda   
 
 
   
 
     
 
   
   
 kesishmani  
  
 
   
 
     
 
     
   
 

---

 
33 
ko„rinishida  ifodalaymiz.  So„ngra  5-teoremani  va  birlashmaga  nisbatan 
distributivlik qonunini qo„llab hamda 
      uchun formula to„g„riligini 
hisobga olib, quyidagiga ega bo„lamiz: 
|  
 
   
 
     
 
     
   
|   | 
 
   
 
     
 
|   | 
   
|   
 |  
 
   
 
     
 
     
   
| 
Bu  ifodadagi  oxirgi  ayriluvchi 
       ta  to„plamning  kesishmasini 
ifodalaganligi  uchun,  induksiya  faraziga  ko„ra,  bu  ayriluvchini 
quyidagicha yozish mumkin: 
|  
 
   
 
     
 
     
   
|  
  |  
 
   
   
      
 
   
   
          
 
   
   
 |  
  | 
 
   
   
|   | 
 
   
   
|       | 
 
   
   
|
  |  
 
   
   
      
 
   
   
 |    
  |  
   
   
   
      
 
   
   
 |       
     
   
|  
 
   
   
      
 
   
   
          
 
   
   
 |   
  | 
 
   
   
|   | 
 
   
   
|       | 
 
   
   
|   | 
 
   
 
   
   
|
      | 
   
   
 
   
   
|    
      
   
| 
 
   
 
       
 
   
   
|  
Bu ifodani o„z o„rniga qo„ysak, 
| 
 
   
 
     
 
   
   
|   | 
 
|   | 
 
|       | 
 
|   | 
   
|   
 | 
 
   
 
|   | 
 
   
 
|       | 
 
   
   
|   | 
 
   
 
   
 
|   
 | 
 
   
 
   
 
|       | 
   
   
 
   
   
|       
     
 
| 
 
   
 
       
 
   
   
| 
tenglik kelib chiqadi.  
1.2.  O‘rinlashtirishlar. 
       ta  elementli      {     }  to„plam 
elementlaridan raqamlari takrorlanmaydigan ikki xonali sonlar tuzaylik: 
34,35,45,43,53,54.  Bu  sonlar  tartiblangan  uzunligi  2  ga  teng  bo„lgan 
kombinatsiyalarni,  ya‟ni  tartiblangan  qism  to„plamlarini  aniqlaydi. 
Ularning umumiy sonini 
 
 
 
 ta deb belgilaymiz (o„qilishi: “3 elementdan 
2 tadan olib, tuzilgan o„rinlashtirishlar soni”). Bizda  
 
 
 
    bo„lmoqda. 
Har  qaysi  juftlikning  birinchi  elementini  yo  3,  yo    4,  yo  5,    ya‟ni  uni 
      ta ixtiyoriy tanlash imkoni bor. Agar birinchi element tanlangan 
bo„lsa,  ikkinchi  elementni  tanlash  uchun 
           ta  tanlash  imkoni 
qoladi. Demak, ko„paytirish qoidasiga ko„ra, jami juftliklar soni  
 
 
 
              
ta, ya‟ni 
 
 
 
    ta bo„ladi.  
          Ta’rif: 
   ta  elementdan              tadan  tuzilgan    takrorsiz 
o„rinlashtirishlar  deb  shunday  birlashmalarga  aytiladiki,  ularning  har 
birida  berilgan   
   ta  elementdan     ta  element  bo„lib,  ular  bir-biridan 

---

 
34 
elementlarining tarkibi yoki elementlarining tartibi bilan farq qiladi. 
  ta 
elementdan 
   tadan  olib  tuzilgan  o„rinlashtirishlar  soni   
 
 
  kabi 
belgilanadi  (
 -fransuzcha    “arraguument”–  o„rinlashtirish  so„zining 
bosh harfi). 
          
   ta  elementli     to„plam  elementlaridan     tadan  olib  tuzilgan 
o„rinlashtirishlar  deb, 
   to„plamning     uzunlikdagi  tartiblangan  qism  
to„plamiga  aytiladi.  O„rinlashtirishlarda  har  bir  juftliklar  bir-biridan 
tarkibi va tartibi jihatdan farq qiladi.  
           Teorema. 
   elementdan     tadan  olib  tuzilgan  o„rinlashtirishlar 
soni,  eng  kattasi 
   songa  teng  bo„lgan     ta  ketma-ket  sonlarning 
ko„paytmasiga teng, ya‟ni    
 
 
 
                    (           )                        
           Isboti: 
   elementdan     tadan  olingan  kombinatsiyalar  sonini 
topaylik. Kombinatsiyaning birinchi elementi ixtiyoriy tartibda 
  ta usul 
bilan  tanlanadi.  U  holda  ikkinchi  element  uchun
       ta imkoniyat va 
hokazo  oxirgi 
     element  uchun         ta  element  tanlangandan  so„ng, 
             ta  tanlanish  imkoni  qoladi  va  bunda  hech  qaysi  element 
takror tanlanmaydi. Barcha 
  uzunlikdagi kombinatsiyalar soni, ko„pay-
tirish qoidasiga muvofiq,  
                  (           ) ta.  
          Bu  teoremani  matematik  induksiya  usuli  orqali  ham  isbotlash 
mumkin.