И здан и е второе, стереотипное

§ 1. У ср ед н яю щ ее ядро ‘)
П у сть 
х а у
— произвольные точки п ростр ан ства 
Ет>
a 
h
— произвольное положительное число. Функцию шл (jc, 
у)
назовем
усредняющим ядром,
если она облад ает следующими 
свой ствам и:
1. Функция u)a (jc, 
у)
зависит тол ьк о от 
h
и 
г,
где через г 
обозн ачен о расстояние между точками 
х
и 
у\ г = ] х — у
|. 
В соответстви и с этим обычно будем писать шЛ( г ) вместо 
шл (лт, 
у).
2. шл ( г ) > 0 ,
г <
Л, 
шл (О = 0> 
r ^ h .
3. 
$ 
ш
h(r)d y —
$ 
wh( r ) d x = l .
г < Л
г < Н
4. u)A (г ) бесконечно дифференцируема по декартовы м к о ­
ординатам каждой из точек 
х
и 
у.
Убедимся в существовании по крайней мере од н ого так о го
ядра. П усть
') Понятие усредняющего ядра и тесно связанное с ним поня­
тие средней функции (см. ниже) впервые были введены В. А. Сте- 
кловым. Дальнейшее развитие эти понятия получили у С. Л. Собо­
лева, идеи которого мы здесь и излагаем. С. Л. Соболев также 
ввел и исследовал понятие обобщенных производных, о которых 
будет идти речь в гл. 2,

---

С вой ства 
1
и 2 не вы зы ваю т сомнений. С вой ство 3 будет 
иметь м есто , если мы положим
Заметим, что интегралу ( 2 ) можно придать б о л ее простую
форму. В вед ем сферические координаты с центром в 
х,
в о с­
п ол ьзовавш и сь при этом известной формулой 
dy
= r m_I 
dr dSv
и сделаем затем п одстан овку 
r — ht.
Тогда для 
сл
получится 
вы р аж ен и е 
,
У становим сво й ство 4. Функция (1 ) симметрична относи­
тельн о 
х к у,
поэтому достаточн о проверить бесконечную
диф ф еренцируемость этой функции по координатам 
y t, y i t .
у т
при фиксированном 
х.
Для это го достаточно проверить, 
что названная функция имеет производные лю бого порядка 
по 
г. 
П о след н ее очевидно, если 
г <^Н
или г 
Л, причем 
в сл учае г 
h
все производны е равны нулю. Д остаточно 
устан ови ть поэтому, что функция (
1
) имеет при 
г — h
про­
и зводн ы е по г лю бого порядка, равные нулю, и что произ­
водны е, вычисленные при г 
Л, стремятся к нулю при г -*■ 
h.
Д о к а за т е л ь ст в о проведем для первой производной; для 
вы сш и х производны х он о аналогично.
а) 
Функция <оЛ( г ) непрерывна при 
r — h.
Действительно, 
из формулы (1 ) видно, что шЛ 
(h
- j - 0 ) == 0 = шЛ (Л), а
б ) 
П рои зводн ая 
т'н (h)
су щ ествует и равна нулю. Д ействи­
тельн о,
(
2
)
а)д (/г —
0
) =
lim
е r*~h*
=
0
,
r-* h
— 0
т ак к ак
Л2 — Г3 
r-*h~^0
- > — ОО
: lim 
0
=
0
,
r — A + 0
В т о ж е время
lim
fr) —
wh
М
r —th —
0 
?
^

---

в чем м ож но убедиться хотя бы по правилу Лопиталя. Таким 
образом, су щ ествует и равен нулю предел
lim 
W = « » ( / »
Г-.Й 
' 
п
в ) Справедливо соотношение
2 
rk*
— ——