И здан и е второе, стереотипное

дх* ‘ dys
' 
dz*
обычно называют 
оператором Лапласа
от функции и и обо­
значают символом Д:
. 
дги
, 
д*и , д ги
и ~ д х а 'д у *'~ д г> ’
уравнение (4 ) можно, следовательно, переписать в виде
* « = * £ •
m
Уравнение 
(4) 
(или 
(4')) 
называется 
уравнением тепло­
проводности.
Э то — линейное уравнение в частных производ­
ных вто р ого порядка. О но было известно ещ е Эйлеру, но 
чаще его связы ваю т с именем Фурье.
3. 
Рассм отрим температурный процесс, установивш ийся 
во времени. Т о гд а 
и
е сть функция пространственны х коор­
динат и не зависит о т времени:
и — и (х, у, z).
Уравнение 
(4) 
переходи т в следующ ее: 
д*и
. 
дги , д*и 
п
+
+
( )
или
А ?г = 0. 
(5 ')
Уравнение (5 ) (или (5 ')) называется 
.уравнением Лапласа
; 
оно представляет собой линейное уравнение в частны х про­
изводны х вто р ого порядка.
В приведенных вы ш е примерах мы каждый раз приходили 
к линейному уравнению в частных производных вт о р о го по­
рядка. О днако такими уравнениями приложения математичес­
кой физики не исчерпываю тся.
П редставляю т интерес для физических приложений многие 
линейные уравнения б ол ее вы соких порядков. Задачи геомет­
рии и физики н ер едко приводят к нелинейным уравнениям в 
частных производны х, а гакж е к системам дифференциальных 
уравнений. Так, хор ош о известны системы дифференциальных 
уравнений теории у п р у го е i и, гидродинамики, электродинамики.

---

Приведенные выше уравнения — волновое, теплопроводно­
сти и Л апласа — соответствую т различным физическим зад а­
чам, но они различны и в плане чисто математическом. Они 
являются представителями трех важнейш их типов уравнений 
в частных производных: 
гиперболического, параболического,
эллиптического.
Изучение эти х типов составляет предмет 
математической физики, котором у посвящ ена настоящая книга. 
Н ужно подчеркнуть, что этими тремя типами не исчерпы вает­
ся многообразие уравнений в частны х производны х; мы вы д е­
ляем их по принципу максимальной изученности и наибольшей 
важ ности для приложений.
Н еск ол ьк о слов скажем о принятых в книге обозначениях 
и систем е нумерации.
Е вкл и дово пространство 
т
измерений обозначается сим­
волом 
Ет.
Если точка этого простр ан ства обозначена, напри­
мер, буквой 
х,
то декартовы координаты этой точки обозн а­
чаются через 
хх, х» . . . , х т.
Нам неоднократно придется вы полнять интегрирование по 
множествам различной размерности, расположенным в про­
стран стве 
Е
т ; чаще всего нам придется интегрировать по 
области или по (
т
— 1)-мерной поверхн ости . Т ак ое интегриро­
вание мы всегда будем обозначать одним знаком интеграла 
независимо от его кратности. Е сли переменная точка интегри­
рования обозначена, например, буквой
х,
то элемент л е б е го ­
вой меры («элем ент объем а») в простр анстве 
Ет
будем о б о ­
значать через 
dx.
Элемент меры на поверхности («эл ем ен т 
площади поверхности») обозначим ч е р ез 
dS, dr, . . . ,
если 
сама п овер хн ость была обозначена через 
S,
Г , . . . . Е сл и
М
— м н ож ество точек пространства 
Ет,
то замыкание эт о го
множ ества будем обозначать через 
М.
В частности, если 
Q — некоторая область в простр анстве 
Ет,
а Г — ее граница, 
то 
Q = Q
( j r .
Н иже мы будем широко п ол ьзоваться следующ ей си м во­
ликой: если область обозначена буквой Q, то объем этой 
области будет обозначен через 12 1. Аналогично | Г | будет 
обозначать площадь поверхности Г .
Сфера радиуса 
R
в простр анстве 
Ет
будет обозн ачаться 
через 
SR.
Площ адь ее поверхности
\SR\ = Rm- '
5 ,1 . 
где 6 1! — сфера радиуса единица.

---

Х ор о ш о известна формула
\Si
2кт/3
Г
( ? ) '
где Г — эйлеров интеграл второго рода.
В книге принята сквозн ая нумерация глав, но нумерация 
параграф ов — своя в каждой главе. При ссы лке на формулу 
т о го ж е параграфа указы вается только ее номер; при ссы лке 
на формулу д р у го го параграфа, но той ж е главы , сперва 
стави тся в ск о б к ах номер параграфа, затем — номер формулы. 
Е сли нужно со сл аться на формулу из другой главы, то в 
ск о б к ах пишутся номер параграфа и номер формулы, а вне 
ск о б о к — номер главы .
В конце книги приводится краткий список литературы к 
к аж дом у разделу и добавлению. В нем содержится перечень 
осн овн ы х учебников и монографий (р еж е — журнальных с т а ­
тей), относящ ихся к данному разделу. В тексте иногда в ст р е ­
чаются ссы лки на э т у литературу. В таком случае в квадрат­
ных ск о б к ах стави тся номер цитируемого издания по списку 
данного раздела.

---

СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ И О БО БЩ ЕН Н Ы Е 
ПРОИЗВОДНЫЕ
Г Л A B A 1 
С Р Е Д Н И Е ФУНКЦИИ