Mavzu: elektr maydonni hisoblash. Elektrostatik maydon induktsiya vektori va uning oqimi

 
Ushbu 
(2.5)
va 
(2.6)
ifodalar 
Gauss teoremasining differensial ko’rinishi
hisoblanadi. Uni ba’zan Nabla operatori 
( 
⃗⃗ )
yordamida ham yoziladi. Bunda 
uning kuchlanganlik vektoriga skalyar ko’paytmasi diveregensiyani 
(2.7)
va vektor 
ko’paytmasi rotorni ifodalaydi 
(2.8)
. 
⃗⃗
⃗⃗ 
 ,
( 
⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗
( 
⃗⃗ ⃗⃗ )

---

va
( 
⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗
 
Gauss teoremasining isboti. 
Ushbu teoremaning isbotini dast avval 
radiusli sfera bilan o’ralgan 
nuqtaviy zaryad uchun ko’raylik 
(7- Rasm)
: 
Masalani soddalashtirish uchun 
nuqtaiy 
zaryadni 
sirt, ya’ni sferaning markazida 
joylashtirib olaylik. U holda markazdagi 
nuqtaviy zaryaddan boshlangan 
⃗⃗ 
vektor sirtga 
perpendikulyar bo’ladi. Shu bois 
⃗⃗ 
vektor, 
sirtga tashqi tomondan olingan normal 
⃗⃗ 
vektor bilan bir xil yo’nalishda bo’lib qoladi va 
natijada ular orasidagi burchak 
bo’ladi. 
Biz qarab chiqayotgan sirt 
radiusli sfera 
bo’lganligi uchun, bu sirt yuzini 
deb belgilab olib, shuningdek yuqorida 
yozilgan 
(1.1)
va 
(1.2)
ifodalarni inobatga olgan holda 
(2.1)
ifodani 
nuqtaviy 
zaryad uchun quyidagicha yozamiz: 
Bu yozilgan ifodaning o’ng va chap tomonlari o’zaro tengligi 
(2.1)
ifodaning 
to’g’ri ekanligini isbotlaydi. 
Agarda yopiq sirt ichida huddi shunday 
zaryaddan bitta emas, balki bir 
nechta mavjud bo’lsa, bu zaryadlarning har biri o’zining induktsiya oqimini hosil 
qiladi. Bu holatda 
(2.1)
ifodani quyidagicha yoziladi: 
∮
⃗⃗ ∮( ⃗⃗ 
⃗⃗ 
⃗⃗ 
)
∑
∑
Yuqoridagilardan xulosa qiladigan bo’lsak: 

---