Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълимвазирлиги мирзо улуғбек номидаги

m
h
– мощность пласта; 

– постоянная размерности м/сут. 
 
const
K
x
K


1
, 
1
0
l
x


; 
 
const
K
x
K


2
, 
L
x
l


1
;
 
t
0

–кусочно-постоянная функция 
времени. 

– коэффициент водоотдачи пласта, 
 
x
l t

- граница раздела
областей, в одной из которых имеется испарение, а в другой оно 
отсутствует.
Следует отметить, что прежде чем приступить к численной реализации 
какой-либо задачи необходимо строгое математическое обоснование 
корректности поставленной задачи. При этом важное место занимает одно 
из свойств задачи как единственность. Поскольку задача (1) – (4) относится 
к типу задач, исследованных в [1], где доказывается существование и 
единственность обобщѐнного решения, то еѐ решение, если только оно 
существует, единственно. Тем самым убеждаемся в достоверности 
полученных результатов при численном решении задачи (1) – (4). 
Для того, чтобы в дальнейшем иметь дело с безразмерными 
величинами введем новые функции и переменные: 
0
u
u
H

, 
L
x
y

, 
,
2
0
0
t
L
u
K






 
 
0
K
y
K
y
K


, 
 
 




0


y
, 
0
0
0
u



(5) 
где 


2
1
0
,
max
K
K
K

, 
 
t
t
0
max



, 
l
m
h
h
u


0
. 
Тогда в силу (5) вместо (1) – (4) получим следующую задачу 
 
 
































n
y
H
y
K
y
y
H
y
K
y
H
4
2
2
1
; (6) 
0
0



H
;





0
0
y
H
;
0
1


y
H
; (7) 
 
 
 


 
0
1
1











l
y
y
H
l
y
y
K
H
; (8), 
 
 


0
1
1









l
y
y
H
l
y
y
K
H
; (9) 
где 
0
4
u
h
др


, 
3
1
0





, 
0
1
K



, 
 
3
3
0
u
L


, 
0
2
K





, 


n
n



0
0
1



, 
1
1
1




L
l
l
,
,
1


0


H
;
,
0


0


H
. 
Приближенное решение задачи (6) – (9) находим методом конечных 
разностей. 
Необходимо 
иметь, 
так 
называемую 
однородную 
консервативную разностную схему. Под однородной разностей схемой 
понимается схема, вид которой не зависит ни от выбора конкретной задачи 
из заданного класса, ни от выбора разностной схемы. 
Большой интерес, например, представляем отыскание однородных 
схем «сквозного» или «непрерывного» счета, пригодных для решения 
уравнения Буссинеска с разрывным коэффициентом фильтрации по одним 

---

73 
и тем же формулам без явного выделения точек или линий разрыва 
коэффициента. 
Метод конечных разностей физически означает переход от 
непрерывной среды к некоторой еѐ дискретной модели. При таком переходе 
естественно требовать, чтобы основные свойства физического процесса 
сохранились. Такими свойствами, прежде чем всего являются законы 
сохранения. Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, 
называют консервативными. Консервативность однородных схем является 
необходимым условием сходимости условием в классе разрывных 
коэффициентов, как для стационарных, так и нестационарных задач 
математической физики. Для получения консервативных разностных схем 
естественно исходить из уравнений баланса, записанных для элементарных 
объѐмов (ячеек) сеточной области. Входящие в эти уравнения баланса 
интегралы и производные следует заменить приближенными выражениями. 
В результате получаем однородную разностную схему. Такой метод 
получения консервативных однородных схем называют интегро-
интерполяционным методом (методом баланса). 
При построении разностной схемы для задачи (6) – (9) исходим из 
интегро-интерполяционного метода построения разностной схемы. Введем 
разностную равномерную сетку 




M
j
N
i
j
h
i
h
,
0
,
,
0
;
,
,










, 




1
,
1
,
1
,
1
;
,
,









M
j
N
i
j
h
i
h



, 
где, 
h

– шаг по пространственной координате, 


– шаг по времени. 
При этом предполагается, что шаги 
h

и 


выбраны таким образом, чтобы 
точки разрыва функцией 
 
y
K

и 
 
y


совпадали с некоторыми узлами 
сетки 




,
h
. Такие сетки называют специальными сетками. 
Рассматривая случаи 
0

n
, 
1

n
, 
2

n
, 
3

n
в отдельности, получаем 
четыре системы линейных конечно-разностных уравнений. Полученные 
системы можно решать методом правой прогонки, который является, 
безусловно. 
1. Бегматов А., Жамуратов К. О классическом и обобщенном решениях 
одной задачи нестационарной фильтрации. Докл. АН УзССР, №2, 1990, 
с.11-13.