А. А. Самарский, А. В. Гулин

Накопление погрешностей округления. 
В процессе проведе­
ния вычислений погрешности округления могут накапливаться, 
так как выполнение каждой из четырех арифметических операций 
вносит некоторую погрешность.
Будем в дальнейшем обозначать округленное в системе с пла­
вающей запятой число, соответствующее точному числу 
х
, через 
f 1 (дг) (от английского floating — плавающий). Считается, что вы­
полнение каждой арифметической операции вносит относительную 
погрешность не большую, чем 
2~‘.
Это предположение можно за­
писать в виде
f l( a * b ) = a * 6 ( l+ e ) , 
(7)
где звездочка означает любую из операций + , —, X, :, и | е | ^ 2 _!. 
Если результат выполнения арифметической операции является 
машинным нулем, то в формуле (7) надо положить е = —1.
Может показаться, что предположение (7) не обосновано, так как соглас­
но (6) каж дое из чисел 
а
и 
b
записывается с относительной погрешностью 
2~‘,
следовательно, погрешность результата может достигнуть 2 - ' + ‘. Однако ЭВМ
обладает возможностью проводить промежуточные вычисления с двойной точ­
ностью, т. е. с мантиссой, содержащей 2
1 разрядов, причем округлению до t
разрядов подвергается лишь окончательный результат. Это обстоятельство по­
зволяет добиться выполнения соотношения (7).
Для оценки влияния погрешностей округления на результат 
того или иного вычислительного алгоритма очень часто использу­
ется предположение о том, что 
результат вычислений, искаженный
погрешностями округления, совпадает с результатом точного вы­
полнения этого же алгоритма, но с иными входными данными.
Рассмотрим, например, процесс вычисления суммы
2 = У , +