А. А. Самарский, А. В. Гулин

—
C jU jJ r b i U j + i
 = О,
/ = 0, ± 1, ±2, ..., 
и0 = О,
и ,= 1;
flj-Wj-!—
CjVj+bjVj+i =
О,
/ = 0, ±1, ± 2, . . . .
V
q
 — 1, vt = 0.
Действительно,
w n
и а
v 0
Hi
Ф
 О,
и согласно следствию 1 
ws[u, v]фО
для всех /. Но тогда согласно 
лемме 1 функции 
uh v,
линейно независимы.
Т е о р е м а 2. 
Если uh v,
— 
фундаментальная система решений
уравнения
(26), 
то его общее решение имеет вид
yj = a lUj+a2vj,
(35)
где
а, 
и а-,
— 
произвольные постоянные.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 
у,
— любое решение уравнения 
(26) и 
Uj, Vj
— два заданных линейно независимых решения. Надо 
показать, что найдутся постоянные a t и 
а2,
для которых справед­
ливо (35). Пусть 
у0
и 
у
1
— значения решения 
у,
в точках / = 0 и 
j —
= 1 соответственно. Выберем постоянные a t и 
а 2
из условий
щ а ф и 0а2 = уа, ula l+vla 2 = y i-
(36)
Определитель этой системы 
w0[u, и]Ф0,
так как 
и
и 
v
— линей­
но независимые решения. Следовательно, при заданных 
у 0,
г/, си­
стема (36) имеет единственное решение 
{аи
а 2}- В силу единствен­
ности решения задачи Коши функция (35), построенная с по­
мощью найденных постоянных а, и 
а г,
совпадает с заданным ре­
шением 
ys.
С л е д с т в и е .
Любые три решения однородного уравнения
(26) 
линейно зависимы.
Пусть 
uh vu у,
— любые решения уравнения (26). Если 
и,
и 
v,
линейно зависимы, то утверждение доказано. Если же 
и,
и 
v,
ли­
нейно независимы, то они образуют фундаментальную систему и 
согласно теореме 2 решение г/, представляется в виде линейной 
комбинации 
Uj
и 
vs.
В качестве упражнения предлагается проверить, что частные 
решения (11) уравнения (7) с постоянными коэффициентами бу­
дут линейно независимы при 
цфЩг
и линейно зависимы — при 
qi = q2.
В последнем случае линейно независимыми будут решения
30

---

(13). Заметим, что вследствие предположения 
а ф
0 характеристи­
ческое уравнение (9) не имеет нулевых корней.
4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка. Об­
ратимся снова к неоднородному уравнению
Уравнение
ед -1 — Cjl/j+b jl/j+ ! = —
(37)
a}yl- l— cjyj+biy
j+! = 0
(38)
называется
однородным уравнением, соответствующим
уравне-
нию
(37).
Т е о р е м а 3. 
Общее решение неоднородного уравнения
(37) 
есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения
соответствующего однородного уравнения.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 
Yj
— какое-либо частное решение 
неоднородного уравнения (37) и 
щ, vs
— линейно независимые ре­
шения соответствующего однородного уравнения (38). Тогда об­
щее решение однородного уравнения (38) имеет вид 
где
ai и а 2 — произвольные постоянные. Непосредственной подста­
новкой проверяется, что функция
У;= Y
(39)
является решением неоднородного уравнения (37). Остается дока­
зать, что функция (39) является общим решением, т. е. что при 
соответствующем выборе параметров 
а 2 любое решение урав­
нения (37) можно записать в виде 
(39).
Пусть 
zs —
любое реше­
ние уравнения (37). Оно однозначно определяется заданием на­
чальных условий 
г 0
и Zj. Поэтому для совпадения 
у},
определен­
ного согласно (39), с заданным решением 
достаточно потребо­
вать г/о = 2о, yi = Zi, т. е.
&
i
U
q
~Y(X2.V
o
 ~
Y
о,
a lui+ a2Vi = z i
—Yi.
Рассматривая эти условия как систему уравнений относитель­
но «
1
, а 2, получаем, что она имеет единственное решение, посколь­
ку определитель
«О 
^0 
a i
Ч
= w0[u,v]
отличен от нуля в силу линейной независимости решений 
Vj.
Теорема 3 доказана.
Частное решение неоднородного уравнения (37) можно постро­
ить, если известны линейно независимые решения 
щ, Vj
соответст­
вующего однородного уравнения (38). Для такого построения при­
меняется 
метод вариации постоянных.