А. А. Самарский, А. В. Гулин

(45)
(46)
Знаменатель в полученных выражениях отличен от нуля, так как он является
определителем Вронского для линейно независимых решений однородного урав­
нения. Из выражений (46) коэффициенты а ( х ) , р (х) находятся в квадратурах.
Обращаясь к разностному уравнению (37), будем искать его 
решение в виде
у ^ а }щ+$ы,
 
(47)
где 
щ, Vj
— линейно независимые решения соответствующего од­
нородного уравнения (38) и 
ajr
р,— искомые функции. Потребуем 
по аналогии с (43), чтобы разность 
у,+1
—
у,
представлялась в виде
У ш
Уз 
VCj
 (щ+l Hj) 
(^;+
1
 
V j)
 • 
(48)
Такое требование эквивалентно выполнению условия
(aj+l—aj)Uj+i+ (pj+i—Pj)Wj+i = 0. 
(49)
Далее, из (48) получим
Уз— У i- i = Щ
- 1 (« г -
Щ -
i) +
P i-
1 ( 
V j 
V j
- ,)
или
Уз—
y1- l= a J(uj~ ,
«,■_,) + РДщ—■
щ_,)—<

(50)
где <р,= ( a — а,-,) (щ— u,_,) + (р — p,_t) (и,—и,_,).

Для дальнейшего удобно представить уравнение (37) в виде
(щ—C j+ b^yj+ bjiy^—у;)— а3{у—
r/j-,) 
= —f}.
 
(51)
Подставляя в (51) выражения (47), (48), (50) и собирая ко­
эффициенты при 
cc_i, Pj, 
получим
Щ
[(я/ — с/ +
bj) и
/ -f 
bj (ui+1
— 
Uj)
— 
а-, (и,-
— 
uh l)]
+
+
Р/ 
[(а/ — 
ci
+
bj) Vj
+
bj (vi+1
— 
Vj)
— 
at
(Vj
— 
у
м )] +Я/Ф/ = — //.
32

---

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю, пото­
му что 
и,
и 
Vj
являются решениями однородного уравнения (38). 
Следовательно, уравнение (37) будет выполнено, если потребо­
вать 
a.
ср; = —
f},
т. е.
(а/ — ам )