А. А. Самарский, А. В. Гулин

Приведем соответствующий пример.
П р и м е р 3. В § 3 гл. 1 изучалась разностная схема для задачи
( k(x)u' )'—q(x)u(x) + f(x) =  0, 
0 
< х < 1 ,
—
k(Q)u'(0) + о и (0 ) =ри, 
и ( / ) = р 2,
k ( x ) ^ C i > 0 ,
q ( x ) ^ 0 ,
( 1 ^ 0 .
Было показано, что разностная схема (3), (4) из § 3 гл. 1 имеет второй порядок
точности. Выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность Zj = i/i—
и ( х{)
(сетка £2л — та же, что и в примере 1):
(
az~)x, i—diZi = —
1
|ь,
—
сцгх, 0 +
2
o = v i ,
2
K = 0. 
(15)
Здесь
vpi = О (Л2) , 
Vl = 0 ( / ( 2) , 
1 = 1 , 2 ..........
N —
1,
а ^ с \ > 4 ,
t = l , 2 ...........
N,
a = f f + 0 , 5
hda,
r f i ^ O ,
i = 0, 1, . . . .
N —
1.
Попытаемся применить условие (11) к оценке решения задачи (15). Запишем
схему (15) в операторном виде 
А г = \ р .  Для того чтобы матрица оператора А
была симметричной, 
перепишем разностное 
граничное условие в виде
------ - 
у 
_i_ -2 _
у ---- Тогда оператор А и правая часть ф определяются
h '*■<> ^ h 
0 
h '
следующим образом:
[Аг)а — — ^ гх 0 +  
z0, 
zN — 0,
(Аг); = - {а?-)хЛ + diZi, 
£ = 1 , 2 , .
У
=
. 'Фг. 
- 'Фл'-т )
Л ' - 1 ,
(16)
(17)
Введем линейное пространство 
Hffl функций, заданных на С2л и равных 
нулю
при 
i = N ,  и зададим скалярное произведение и норму
Л'-1
(У, ч) = 2 yivih’ 
11^11= 
У( у^Т) -
i =  о
Вычислим для оператора (16) и произвольного 
v СЕ 
скалярное произведение
(
Av, о). По определению имеем
N - l
N - 1
(Av, V) = - ayvxfivо + a v l - ^ h (av-)x Jv i + ^
1=1 
i==1
345

---

Ранее было показано, что при 
vn
 — 0 справедливо тождество (см. (16) из § 3
гл. 1)
N
- 1 
N
ait'x,ouo+ 2 й и * ) * ,л = ~ 2 а( ( \ г)а/г-
Поэтому
1V-1
М'> О) = 2 аг ( ^ 1()2/г + ^ + 2
+ 2
hai ( ° - ti)a
Отсюда при ст$»0, a i ^ C i > 0 , 1 = 1 , 
2, . . . , N, получим оценку
(Ли, о) > сх 2 /г (у- р2-
i=i
(
18
)
Оценим снизу правую
норму
часть 
неравенства (18) через среднеквадратичную
Ml
М - 1
2
^
i
=О
1 / 2
(19)
Напомним, что согласно оценке (17) из § 3 гл. 1 при любых 
справедливо
неравенство
N
S A( ° ; / > /~1IN с а д . 
(20)
t=i
где
"С(Я,,)
max 
| ц. |.
С другой стороны, для среднеквадратичной нормы (19) имеем
.V-1
IMl2 < (
max 
К | 2) 2
Л 
=
Ч"11с<аАг
(21)
Отсюда и из неравенства (20) получим
N
2
м
^ - / >
г
2
м р
£=i
и, учитывая (18), приходим к оценке
(Av. а) > с 1/ - 21 И 2.
Следовательно, для оператора (16) справедливо неравенство (11) с константой
6 = C i/-2 , а для разностной схемы (15) выполняется оценка (12):
||- 
(
22
)
Для сеточной функции (17), учитывая, что V] = 0 (A 2), имеем
N
- 1
lit II2 = 2 ^ i + vJ/A = 0(A»),
i=i
так что ||ф|| = 0 (Л 3/2) и неравенство (22) приводит к оценке 
\\z\\ = 0 ( h 3^ ) . Такое
понижение порядка точности по сравнению с доказанной в § 3 гл. 1 точностью
0 (А 2) вызвано неудачным выбором нормы правой части ф. Если в качестве нор-
346

---

мы взять, например,
Л
'- 1
w i(lA, = 2 М'Ы.
1=0
(23)
то для функции (17) получим
N - 1
И 1 1 ( 1Л) = I v x 1 + 2 й | Ч > , | = 0 ( Л » ) .
(24)
{=1
Однако оценка (12) не позволяет использовать норму (23). Поэтому можно
поступить следующим образом. Умножая уравнение Л г = ф скалярно на 
г, полу­
чим 
тождество
(
Az, г) = (ф, г). 
(25)
Оценим правую часть этого тождества следующим образом:
01>, 
2)
| =
Д-1
S ftV i 
1=0
л
- 1
< 2
1=0
N - l
<  ( max 
| zt. |) 2
h 11 ,-1 = II
2
0<£sS/V-l
'C(Qh )
"Oft)-
Левая часть тождества (25) оценивается снизу согласно неравенствам (18), (20):
(Az, 
г) > с,ГМ|г|£(0й).
Таким образом, для схемы (15) справедлива оценка
Пг «с(е А) < c 7 1/ H I I (lft,. 
(26)
Из 
оценки (26), учитывая (24), получаем, что 
| г ||с^а 
> 
= 0 ( h 2). Кроме того, из
(26) и (21) получаем, что ||г|| = 0 ( й 2).
3. 
Операторы первой разностной производной. 
На сетке 
Qa= {Xi = ih, i = 0, 1, . . . , N, hN = l}
рассмотрим разностное уравнение первого порядка
-
= Ф£. ( = 1 . 2 , . . . , N, 
у0 = р1ш 
(27)
h
Введем пространство 
Ня
функций, заданных на сетке 
а)А= {х{ = И1, i = l , 2 , . . . ,
j
V, h,N = /},
и определим в 
HN
скалярное произведение
N
(у, v)
 = 2
У‘и‘1г-
i=i
Зададим оператор 
А 
формулами
(Ay)i = ^ , 

=
, 
1
 
=
2
, 3, .. . , Л
1
. 
(
28
)
h 
h
347

---

Тогда уравнение (27) можно записать в виде 
Ау =
ф, где <р=
=
( ф ! +
,
ф 2 ,
, Ф д , ^
. Оператор 
А,
определенный формулами
(28), называется 
оператором левой разностной производной.
Мат­
рица этого оператора имеет вид (для определенности полагаем 
здесь 
N = 5)
1
0
0
0
0
“
1
1
0
0
0
0
— 1
1
0
0
0
0
— 1
1
0
0
0
0
— 1
1
Л = -
h
Найдем оператор 
А*,
сопряженный оператору (28). По определению 
имеем
N
N
(Ay, 
V )
=
2
(Ay)t v ih = У Л
+ 2
— y i - ^ 14 =
1 = 2
N - i
N
N
- 1 
N - i
= 2
ум
 —
2
yiVui
= — 2
yi
и ± h + yN -?-h.
h 
h
Следовательно, оператор 
А*
задается формулами
=
, 
i = 1, 2, . . . , N
— 1, 
(ЛЧ>)л, = - у . (29)
Оператор (29) называется 
оператором правой разностной произ­
водной.
Матрица оператора (29) является транспонированной по 
отношению к матрице оператора (28).
Вычислим скалярное произведение 
(Ау, у)
для оператора (28). 
Обозначим 
Ух
,1
 = (У>
—
У>-<)1Ь
и заметим, что справедливо тожде­
ство
(30)
Тождество (30) доказывается непосредственной проверкой. 
Из (28) и (30) получаем
(Ay, y ) = y l + j
2
<У%£
+ 4 S ^ . < ) а 
h
=
N
= U y ', + y%) + ± - Z { y - . f h .
Полагая формально 
у0 =
0, получим
(Ау, 
у ) =
| 2
+
Я. = 0. 
(31)
1=1 
1=1
348

---

Из неравенства (31) следует, в частности, что оператор (28) поло­
жительный: (
А у
, 
у
) > О для всех 
y ^ H N, у ф
0. Действительно, 
{Ау, у ) ^ 0
для всех 
y ^ .H N.
Если 
(Ау, у) =
0 для некоторого 
у =
= (У
1
У
2
 ■
■
■
!J
n
)t ,
ТО 
y 1 = yN = 0 , y - i —
0, т. е. 
у( =
0, 
i=
1, 2, . . . ,
N.
§ 2. Канонический вид и условия устойчивости
двуслойных разностных схем
1. 
Канонический вид двуслойных разностных схем. 
Общая за­
пись разностных схем в виде операторных уравнений 
Ahyh=*
рЛ, удоб­
ная для стационарных задач, оказывается недостаточно детальной 
при переходе к нестационарным разностным схемам. Поэтому при 
исследовании двуслойных и трехслойных разностных схем исполь­
зуются другие канонические формы записи.
Пусть, как и прежде, задано семейство конечномерных линей­
ных пространств 
Hh,
размерность которых зависит от параметра 
h.
Параметр 
h
считаем вектором с нормой 
\h\.
В приложениях к кон­
кретным разностным схемам пространство 
Нк
состоит из функций, 
заданных на пространственной сетке Q,,, характеризующейся ша­
гом 
h.
На отрезке [0, Г] введем сетку по времени
(от= {/„ = пт, n = 0, 1, . . . ,
К , К х = Т
}
с шагом т > 0 и будем рассматривать функции 
y (tn) ^ H h
дискретно­
го аргумента /„еш , со значениями из пространства 
Hh.
Функции 
y (tn) ^ H h
могут зависеть параметрически от 
h
и т, 
у (tn)=yi,,x(tn).
В дальнейшем будем обозначать 
yn = yh,x(tn) ■
Пусть заданы линейные операторы 
В и
В2, действующие в 
Нк,
и функция ф „ е Я Л. 
Двуслойной разностной схемой
называется се­
мейство операторно-разностных уравнений первого порядка
В ^ п+1+ В 2уп = ц>л, п = 0,
1, .. ., 
К—
1, 
y0^ H h
задан. 
(1)
Учитывая тождество
I 
Уп+l 
Уп
у
п+1
 = Уп + х
----------- , 
(2)
т
получаем, что любую двуслойную разностную схему можно запи­
сать на сетке оц в виде
В —
— — +
Ауп
= фп, n = 0, 1, 
1, 
y0€=.Hk
задан, (3)
Т
где 
А и В
— линейные операторы, 
А
=
В = тВ,.
Каноническим видом
(или 
канонической формой) двуслойной
разностной схемы
назы вается ее запись в виде (3 ).
Поскольку одну и ту же разностную схему можно записать мно­
гими способами, введение единообразной канонической формы за­
писи облегчает анализ и сравнение различных схем. По форме 
записи схема (3) напоминает абстрактную задачу Коши для
349

---

дифференциальных уравнений
^ - + Jlu(t) = fit), t >  О, u(0) = «o.
at
В случае конкретных разностных схем оператор 
А
обычно пред­
ставляет собой аппроксимацию пространственного дифференциаль­
ного оператора 
si-,
а оператор 
В
задает ту или иную разностную 
схему. Поэтому запись схемы в виде (3) часто упрощает проверку 
аппроксимации. В дальнейшем мы убедимся в том, что условия 
устойчивости двуслойной разностной схемы удобно формулировать 
в терминах свойств операторов 
А и В.
Приведем несколько примеров.
П р и м е р 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного урав­
нения теплопроводности (см .§ 4 гл. 1)
у
Г 1~«1
: 
+ ( ! - * ) &
(4)
i=
1 ,2 ........ Я —1, п = 0, 1, . . . . /С—I,
Уо+1
=
У Т
= 0, у? = ы0(*г).
Приведем схему (4) к каноническому виду (1). В качестве про­
странства 
Hh
возьмем множество 
H^-i
действительных функций, 
заданных на сетке
£2Л =
{Xi — ih, i
= 0, 1, . . . , Я, 
hN = l)
и обращающихся в нуль при г = 0, 
i —N
(операции сложения и ум­
ножения на число задаются обычным образом, т. е. покоординат­
но). Определим оператор 
А
(оператор второй разностной производ­
ной) формулами
(Ay)i 
= - y - xJ, i =
1, 2, . . . , Я — 1, 
yg — yN =
0. 
(5)
Обозначим через у„«= Я ^ вектор