А. А. Самарский, А. В. Гулин

бовать, чтобы неравенство (44) выполнялось при всех п.
П р и м е р 5. Рассмотрим разностные схемы для уравнения пер­
вого порядка
4!- + - ^ = 0, 
0 
< t ^ T ,
0 
< х ^ 1 ,
(48)
at 
дх
и(0, 
t ) = Q ,
и(х,
0 ) — 
и0{х).
Введем сетку млх=мйХ®т, где
a>h — {Xi = ih, i
= 0, 1, .. . , 
N, hN
= Z},
(ax = {tn = nx, n — 0, 1, . . . , К, Kx — T},
и аппроксимируем задачу (48) разностной схемой
1_ о?
т 
+ (ТС + (1 - ° ) ^ д = 0' 
‘‘= 1 . 2
(49)
Уо =
0, п — 0, 1, . . . , 
К, 
y°t=u0(xi), i — 0,
1, . . . , 
N,
где 
а —
числовой параметр и
360

---

Введем пространство 
Н$
функций, заданных на сетке шл и равных 
нулю при i = 0. Определим в 
Н $
скалярное произведение и норму
(
у
. о) = 2
II 
■
у
I —
У (
у
>
у
)
t=i
и зададим оператор 
А
формулами
(Ay)t
=
y-tl, i
 = 1, 2, . . . , 
N, 
y0 = 0.
 
(50)
Тогда разностную схему (49) можно записать в виде (43), где 
у^.Ны].
Оператор (50) (оператор левой разностной производной) 
изучался в и. 3 § 1. Было показано, что 
А
— несамосопряженный 
оператор, для которого при любом 
у ^ Н р
выполняется тожде­
ство
(Ау, у)
=
j
2
( У х / h + \ y » -
(51)
1=1
Применим теорему 4 к исследованию устойчивости схемы (49). Из 
определения оператора (50) имеем
\\Ayf=
2
(У х/ 1г<
i=i
поэтому тождество (51) можно записать в виде
(Ау, У) =
 0,5/i [j 
Ay
 f + 0,5
yjj.
Тогда условие устойчивости (44) приводит к неравенству 
(а — 0,5) т I 
Av
f + 0,5/г | 
Аи
f
0,5п^ ^ 0 ,
которое выполняется при всех 
тогда и только тогда, когда
Aj
Т 
J
(52)
Неравенство (52) и представляет собой условие устойчивости схе­
мы (49). В частности, явная схема (ст = 0) устойчива при условии 
т ^ й , неявные схемы с 
0,5 устойчивы при любых шагах т и й.
В семейство схем (49) входит и схема
у
Ь-1 + 
у
Ъ + 
у
^ + 
у
-
х
л
 = (>'
(53)
имеющая второй порядок аппроксимации по 
х
и по Л. Действительно,
у
Ь
-1
=
у
Ь ~ К
х
.
с
=
у Ь
- -
< £ ?
-
y - J ’
поэтому (53) можно переписать в виде
361

---

т. е. получаем схему (49) с
При этом значении а условие устойчивости (52)
т. е. схема (53) абсолютно устойчива.
выполняется для всех т и h,
§ 3. Канонический вид и условия устойчивости
трехслойных разностных схем
1. 
Канонический вид. 
Двуслойная разностная схема определя­
лась в § 2 как разностное уравнение первого порядка по перемен­
ному 
п,
коэффициенты которого являются операторами, действую­
щими в линейном пространстве 
Hh.
Естественно определить трех­
слойную схему как операторно-разностное уравнение второго по­
рядка.
Пусть заданы: сетка
(От = {
tn =
пт, 
п
= 0, 1, . . ., 
К,
т > О, 
Кх = Т},
семейство конечномерных линейных пространств {ЯД, линейные 
операторы 
В0, Ви В2,
действующие в 
Hh,
и функция ф„=<р((„)еЯЛ. 
Трехслойной разностной схемой
называется семейство операторно­
разностных уравнений второго порядка
В2Уп+
1
-\-В1уп-\-Вауп^1 = ^ п, 
п=
1, 2, . . . ,
К
—1- 
(1)
Операторы 
Ви i =
0, 1, 2, могут зависеть от 
h,
т, 
п,
а функция 
сргг = ф(Д) может зависеть также от т и 
h.
Мы будем изучать задачу 
Коши для уравнения (1), состоящую в том, что по заданным эле­
ментам 
уа, y , ^ H h
требуется определить решение 
yn = y (tn)
Для всех 
последующих значений 
п,
т. е. для 
п =
2, 3, . . . ,
К.
Чтобы задача 
Коши была однозначно разрешима, достаточно потребовать сущест­
вования оператора ЯД. В дальнейшем мы будем предполагать 
всегда, что это требование выполнено.
Введем каноническую форму записи трехслойных разностных 
схем. Определим на сетке 
а>т
разностные отношения
Уц\г1