1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Funksional qator va uning yig’indisi

,...

,

...

,

,

x

f

x

f

x

f

n

2

1

E

n

 





x

f

n

 

x

f

n

 

,...;

,...,

,

:

2

2

2

2

1

2

3

1

2

1

x

n

n

x

x

x

n

n

x

f

n















 

,...

sin

,...,

2

sin

,

1

sin

:

sin

n

x

x

x

n

x

x

f

n













,

,

0

E

R

E

x

E

x

x





0

 





   

 

,...

,...,

,

:

0

0

2

0

1

0

x

f

x

f

x

f

x

f

n

n

 





0

x

f

n

 





x

f

n

0

x

x



0

x

 





x

f

n

E

E



0

 





x

f

n

 

,...

,...,

,

,

:

n

n

n

x

x

x

x

x

x

f

3

2



R

E







1

,

1







x





1

,

1

\





R

x





1

,

1

0





E

 





x

f

n





R

E

E



0

0

0

E

x



   

 

,...

...,

,

,

x

f

x

f

x

f

n

2

1

 

x

f

n

n





lim

E

x



 

x

f

n

n





lim

 

x

f

x

f

n

n







lim

:

---

Funksiya hosil bo’ladi. Bu 

 funksiya 

 funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi 

deyiladi: 

. 

Bu munosabat quyidagini anglatadi: ixtiyoriy 

 son va har bir 

 uchun shunday natural 

 son topiladiki, ixtiyoriy 

 da 

 , 

Ya’ni 

 

 

 

 

bo’ladi. 

1-misol

. Ushbu 

 

Funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin. 

◄ Berilgan funksional ketma-ketlik 

 da aniqlangan. Uning limit funksiyasi 

       

bo’ladi.     Demak, funksional ketma-ketlik 

 da yaqinlashuvchi va  

.► 

  

2

0

. Funksional qator va uning yig’indisi.

 Faraz qilaylik, 

 to’plamda aniqlangan  

 

funksional ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Bu ketma-ketlik hadlari yordamida tuzilgan quyidagi 

 

Ifoda funksional qator deyiladi va 

 kabi belgilanadi: 

                   

 .                 (2) 

Bunda   funksional qatorning aniqlanish to’plami deyiladi. Masalan, 

1)

 

, 

2)

 

 

Funksional qatorlar bo’lib, ularning aniqlanish to’plami 

 bo’ladi. (2) funksional 

qator hadlaridan ushbu  

 

x

f

 





x

f

n

 

 





0

lim

E

x

x

f

x

f

n

n









0





0

E

x



 

x

n

n

,

0

0





0

n

n



 

 







x

f

x

f

n

 

 

 

























x

f

x

f

n

n

N

x

n

n

n

:

,

,

,

0

0

0



 

n

x

n

x

f

n

sin











,

0

E

 

 

x

x

n

x

n

x

n

x

n

x

f

x

f

n

n

n

n























sin

lim

sin

lim

lim









,

0

E

x

n

x

n

n







sin

lim

R

E



   

 





,

,

,

,

x

u

x

u

x

u

n

2

1

 

 

 













x

u

x

u

x

u

n

2

1

 







1

n

n

x

u

 

 

 

 





















x

u

x

u

x

u

x

u

n

n

n

2

1

1

E



























1

2

1

1

1

n

n

n

x

x

x

x























nx

x

x

x

n

nx

ne

e

e

e

ne

3

2

1

3

2















,

E

---

 

                              (3) 

Yig’indilarni  tuzamiz.  Ular  (2)  funksional  qatorning  qismiy  yig’indilari  deyiladi.  Demak,  (2) 

funksional qator berilgan holda har doim bu qatorning (3) qismiy yig’indilaridan iborat 

 

 

Funksional ketma-ketlik hosil bo’ladi. Ravshanki, 

 nuqtada

 sonlar ketma-

ketligi bo’ladi. 

3-ta’rif.

  Agar 

  yaqinlashuvchi  (uzoqlashuvchi)  bo’lsa,   

  funksional 

qator 

  nuqtada  yaqinlashuvchi  (uzoqlashuvchi)  deyiladi, 

  nuqta  funksional  qatorning 

yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi. 

4-ta’rif.

 

 funksional qatorning barcha yaqinlashish nuqtalaridan iborat 

 

to’plam, 

  funksional  qatorning  yaqinlashish  to’plami  deyiladi.  Bu  holda   

 

funksional qator 

 to’plamda yaqinlashuvchi ham deb yuritiladi. 

Agar 

 to’plamda ushbu  

 

Qator yaqinlashuvchi bo’lsa, 

 funksional qator 

 da absolyut yaqinlashuvchi deyiladi. 

5-ta’rif. 

  funksional  qatorning  qismiy  yig’indilaridan  iborat 

  ketma-

ketlikning limit funksiyasi 

: 

 

 funksional qator yig’indisi deyiladi. 

 

 kabi yoziladi. 

2-misol. 

Ushbu  

 

Funksional qatorning yaqinlashish to’plami va yig’indisi topilsin. 

◄  berilgan  funksional  qatorning  aniqlanish  to’plami 

  bo’ladi.  Qatorning  qismiy 

yig’indisini topamiz: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

















































x

u

x

u

x

u

x

S

x

u

x

u

x

S

x

u

x

S

n

n















2

1

2

1

2

1

1