1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Funksional qator va uning yig’indisi

:

,

,

,

0

0

0

0

0

 

 









x

f

x

f

n

E

x

0

sup

 

 

0

sup

lim

0











x

f

x

f

n

E

x

n

 

 

0

sup

lim

0











x

f

x

f

n

E

x

n

 

 























x

f

x

f

Sup

n

n

N

n

n

E

x

0

:

,

,

0

0

0

 

 

 

 

x

f

x

f

x

f

x

f

n

E

x

n









0

sup

0

E

x





 

 







x

f

x

f

n

---

 

Bo’lishi kelib chiqadi.►  

5-misol

. Ushbu  

 

Funksional ketama-ketlikning 

 da tekis yaqinlashuv-chiligi ko’rsatilsin. 

◄berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi 

 

Bo’ladi. Endi 

 

Ni topamiz: 

. 

Demak,  

 

Bo’lib, 

 

Bo’ladi.►  

Eslatma

. Agar 

 funksional ketma-ketligi uchun  

 to’plamda  

 

Bo’lsa, 

 funksional ketma-ketlik  

 da tekis yaniqla-shishi shart emas. 

Endi  funksional  ketma-ketlikning  limit  funksiyaga  ega  bo’lishi  va  unga  tekis 

yag’inlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz: 

 

2-teorema  (Koshi  teoremasi).

 

  funksional  ketma-ketlik 

  to’plamda  limit 

funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun 

 son olinganda ham shunday 

 topilib, 

 va 

 da 

, 

Ya’ni 

 va 

 da 

 

 

 

 

  

 

 

 

(4) 

Bo’lishi zarur va yetarli. 

◄ 

zarurligi.

  Aytaylik, 

  to’plamda 

  funksional  ketma-ketlik  limit  funksiya 

 ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin: 

 

 

 





0

E

x

x

f

x

f

n







 

2

2

1

n

x

x

f

n





R

E



0

 

 





R

x

x

n

x

x

f

x

f

n

n

n



















2

2

1

lim

lim

 

 

x

f

x

f

n

x



sup

n

x

n

x

n

Sup

x

n

x

n

Sup

x

n

x

Sup

R

x

R

x

R

x

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2



















































0

1

lim

1

lim

2

2



















n

x

n

x

Sup

n

R

x

n





R

x

x

n

x









2

2

1

 





x

f

n

R

E



 

 

0

sup

lim











x

f

x

f

n

E

x

n

 





x

f

n

E

 





x

f

n

E

0







 

N

n

n







0

0

N

p

n

n









,

0

E

x





 

 









x

f

x

f

n

p

n

 

N

p

n

n

N

n

n



















,

,

,

0

0

0

0





E

x





 

 









x

f

x

f

n

p

n

E

 





x

f

n

 

x

f

 

 





0

.

E

x

x

f

x

f

n







---

Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra 

 

bo’ladi. 

Xususan, 

 va 

 da 

 

Tengsizliklar bajarilib, ulardan  

 

 

Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (4) shart o’rinli. 

Yetarliligi. 

 funksional ketma-ketlik uchun (4) shart bajarilsin. Uni quyidagicha 

yozamiz: 

 da  

 

 

 

  

 

 

  (5) 

Bo’ladi.  

Ravshanki,  tayin 

  da 

  sonlar  ketma-ketligi  uchun  (5)  shartning 

bajarilishidan  uning  fundamental  ketma-ketlik  ekanligi  kelib  chiqadi.  Koshi  teoremasiga  ko’ra 

 yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli 

 

 

    

 

 

 

 

(6) 

Limit mavjud. 

 

modomiki, har bir 

 da (6) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval ayganimizdek, 

 

to’plamda aniqlangan 

 

Funksiya  hosil  bo’ladi  uni 

  bilan  belgilaymiz.  Bu  funksiya 

  funksional  ketma-

ketlikning limit funksiyasi bo’ladi: 

. 

Endi (5) tengsizlikda,   va   larni tayinlab 

 

da limitga o’tamiz. Natijada 

 

Hosil bo’ladi. Bu 

 

Bo’lishini bildiradi. ►  

  

 

aytaylik, 

  funksional  ketma-ketlik 

  to’plamda  yaqinlashuvchi  bo’lib, 

 

funksiya uning limit funksiyasi bo’lsin: 

. 

 

agar  

 

 

  

Bo’lsa, 

  funksional  ketma-ketlik 

  to’plamda 

  funksiyaga  notekis  yaqinlashadi 

deyiladi. 

 

   

2

0

0

0

0





























x

f

x

f

E

x

n

k

N

n

n

k

:

,

,

,

0

,

n

n

n

k





N

p

p

n

k







,

   

   

2

,

2















x

f

x

f

x

f

x

f

p

n

n

 

 

 

 

 

 





















x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

p

n

n

p

n

 

 

   























2

2

x

x

f

x

f

x

f

n

p

n

 





x

f

n

 

E

x

N

p

n

n

N

n

n























,

,

,

,

0

0

0

0





 

 

2









x

f

x

f

n

p

n

E

x



0

 





0

x

f

n

 





0

x

f

n

 

0

lim

x

f

n

n





E

x



E

 





E

x

x

f

x

n

n









lim

 

x

f

 





x

f

n

 

 





E

x

x

f

x

f

n





n

x





E

x

n

n





,

0





p

 

 











2

x

f

x

f

n

   





0

E

x

x

f

x

f

n







 





x

f

n

E

 

x

f

 

 





E

x

x

f

x

f

n





   

0

0

0































x

f

x

f

E

x

k

n

N

k

n

:

,

,

,

 





x

f

n

E

 

x

f

---

 

 

4

0

. Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi. 

Aytaylik,  

 

Funksional  qator 

  to’plamda  yaqinlashuvchi  (ya’ni  qatorning  yaqinlashish  to’plami 

) 

bo’lib, yig’indisi 

 bo’lsin: 

                         (7) 

Bunda, 

. (7) munosabat  

 

Bo’lishini anglatadi. 

7-ta’rif. 

Agar 

 to’plamda  

 

Ya’ni  

 

Bo’lsa, 

 funksional qator 

 to’plamda tekis yaqinla-shuvchi deyiladi. 

Agar  

 , 

Deyilsa, funksional qatorning 

 to’plamda tekis yaqinlashuvchiligini quyidagicha  

, 

Ya’ni  

 

Ko’rinishda ta’riflash mumkin bo’ladi. 

Shunday qilib 

 

Funksional qator, uning qismiy yig’indisi  

 

Va yig’indisi 

 uchun 

 

Bo’lsa, funksional qator 

 da yaqinlashuvchi, 

 

Bo’lsa, funksional qator 

 da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. 

3-teorema. 

  funksional  qator 

  da  qator  yig’indisi 

  funksiyaga  tekis 

yaqinlashishi uchun  

, 

Ya’ni  

 

Bo’lishi zarur va yetarli. 

 

 

 

 





















x

u

x

u

x

u

x

u

n

n

n

2

1

1

0

E

0

E

 

x

S

 

 





0

E

x

x

S

x

S

n





 

 

 

 

x

u

x

u

x

u

x

S

n

n











2

1





   





























x

S

x

S

n

n

N

x

n

n

E

x

n

:

,

,

,

,

0

0

0

0

0

0

E

   





0

E

x

x

S

x

S

n







,

 

 

 





























x

S

x

S

E

x

n

n

N

n

n

n

:

,

,

,

0

0

0

0

0

 







1

n

n

x

u

0

E

 

 

 

x

S

x

S

x

r

n

n





0

E

 





0

0

E

x

x

r

n







 

 



























x

r

E

x

n

n

N

n

n

n

:

,

,

0

0

0

0

0

 

 

 

 





















x

u

x

u

x

u

x

u

n

n

n

2

1

1

 

 

 

 

x

u

x

u

x

u

x

S

n

n











2

1

 

x

S

 

 





0

E

x

x

S

x

S

n





0

E

 

 





0

E

x

x

S

x

S

n







0

E

 







1

n

n

x

u

0

E

 

x

S

   

0

sup

lim

0











x

S

x

S

n

E

x

n

 

0

sup

lim

0









x

r

n

E

x

n

---

Faraz qilaylik, 

 

Funksional qator 

 to’plamda berilgan bo’lsin. 

4-teorema  (Koshi).

 

 

  funksional  qator 

  to’plamda  tekis  yaqinlashuvchi 

bo’lishi uchun  

 da  

 

bo’lishi zarur va yetarli. 

 

2-keys 

Keyslar 

1.

 

Ushbu 

 

Funksional ketma-ketlikni 

 da tekis yaqinlashuvchi- likka tekshirilsin. 

2.

 

Aytaylik, 

 funksiya 

da uzluksiz 

 hosilaga ega bo’lib,  

 

Bo’lsin.  Bu  funksional  ketma-ketlikning 

  da 

  ga  tekis  yaqinlashishi 

isbotlansin. 

 

3 . Ushbu 

 

Funksional qatorning 

 da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi isbotlansin. 

Asosiy adabiyotlar 

 

1.

 

Tao T.

 

Analysis 1, 2

. Hindustan Book Agency, India, 2014. 

2.

 

Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. 

Matematik 

analizdan ma’ruzalar, I, II q. 

T. “Voris-nashriyot”, 2010. 

3.

 

Фихтенгольц Г. М.

 

Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1, 2, 

3 т.

 М. «ФИЗМАТЛИТ», 2001. 

4.

 

Худойберганов  Г.,  Ворисов  А.  К.,  Мансуров  Х.  Т.

 

Комплекс  анализ.

  Т. 

“Университет”, 1998. 

5.

 

Шабат Б. В.

 

Введение в комплексный анализ.

 М. URSS, 2015. 

  

 

 

 

 





















x

u

x

u

x

u

x

u

n

n

n

2

1

1

R

E



 







1

n

n

x

u

E

 

E

x

N

p

n

n

N

n

n























,

,

,

,

0

0

0

0





 

 

 

 

 























x

u

x

u

x

u

x

S

x

S

p

n

n

n

n

p

n



2

1

 



















x

n

x

n

x

f

n

1









,

0

E

 

x

f

 

b

a

,

 

x

f



 

 

























 



x

f

n

x

f

n

x

f

n

1





 

b

a

b

a

i

i

,

,



 

x

f





















1

1

1

n

n

x

n

x









,

0