Andijon mashinasozlik instituti “mashinasozlik” fakulteti “oliy matematika” kafedrasi

 

 

4-misol. 

Arctg





i

2

1



ning barcha qiymatlarini toping. 

 

Yechish. 













i

i

i

i

i

i

i

n

l

i

i

Arctg



















3

1

ln

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

 

kasrning 

maxrajini 

komplekslikdan ozod qilib, uning moduli va argumentini topaylik: 







k

arcctg

i

i

arcctg

arctg

arctg

tg

i

i

i

i

i

i

i

2

2

5

1

ln

5

5

2

ln

2

2

1

2

1

;

2

1

5

2

5

1

5

5

2

arg

5

1

25

1

5

4

5

5

2

3

1

;

5

5

2

3

1











































































































 

U holda 





5

ln

4

2

2

1

2

1

i

arcctg

k

i

Arctg











 

 

6. Giperbolik funksiyalar. 

Kompleks 

o‘zgaruvchilarning 

giperbolik 

funksiyalari 

ham 

haqida 

o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari kabi aniqlanadi. 

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

e

e

e

e

cthz

e

e

e

e

z

ch

z

sh

z

th

e

e

z

ch

e

e

z

sh



































;

;

2

;

2

 

Bunda 

shz,    chz 

lar 

i



2

davrli, 

shz,    chz 

lar 

 

i



 

davrli  funksiyalar.  Kompleks 

o‘zgaruvchining  giperbolik  va  trigonometrik  funksiyalar  orasida  quyidagi 

bog‘lanish mavjud. 

.

,

,

cos

,

sin

ictgiz

cthz

itgiz

z

th

iz

z

ch

iz

i

z

sh













 

Isboti. 

 

 

shz

e

e

e

e

i

e

e

i

iz

i

z

z

z

z

iz

i

iz

i



























2

2

2

sin

 

 

 

 

 

---

5-misol. 

 

i



1

cos

 ning qiymatini hisoblang. 

Yechish. 

 

 





 

 

















2

1

sin

2

1

cos

1

sin

1

cos

1

sin

1

cos

2

1

2

1

2

1

1

1

cos

1

1

1

1

1

1

1

1























































e

e

i

e

e

i

e

i

e

e

e

e

e

i

ch

i

i

ch

i

i

i

i

i

 

VI.

  Agar   

E 

  kompleks  sohada 

 

z

f

w



  funksiya  berilgan  bo‘lib  va  bu 

sohaning  biror 

0

z

 

nuqtasidagi  argument  va  funksiya  orttirmalari  quyidagicha 

bo‘lsin: 



  

0

0

0

,

z

f

z

z

f

w

z

z

z

















. 

1-ta‟rif.

  Agar 

z



  har  qanday  yo‘l  bilan  nolga  intilganda 

z

w





  nisbat  faqat 

birgina  aniq  limitga  intilsa,  u  limitning  qiymati 

 

z

f

  funksiyaning 

0

z

 

nuqtadagi 

hosilasi

 deyiladi va  

 

z

d

w

d

z

f

w

,

,

0

1

1

 yoki  

z

d

f

d

 kabi belgilanadi, demak 

                              

 



  

z

z

f

z

z

f

z

w

z

f

z























0

0

0

0

lim

lim

                             

(1) 

yoki  

   

 

v

i

u

w

y

x

v

i

y

x

u

z

f

w

















;

,

,

0

 bo‘lgani uchun (1) ni quyidagicha 

yozish mumkin: 

                                       

 

y

i

x

v

i

u

z

w

z

f

y

z

z



































0

0

0

lim

lim

                                       (2) 

chunki 



  





















v

i

u

y

x

v

y

y

x

x

v

i

y

x

u

y

y

x

x

u

z

f

z

z

f

w











































,

)

,

,

,

 

bunda  













y

x

y

y

x

x

y

x

u

y

y

x

x

u

u

,

)

,

,

)

,



































 

2-ta‟rif.

 Agar 

 

z

f

w



 funksiya 

0

z

 

nuqtada hosilaga ega bo‘lsa,  uni bu 

nuqtada differensiallanuvchi yoki 

monogen funksiya

 deyiladi.  

1-ta’rifdan  ko‘rinadiki,  agar   

 

z

f

 

0

z

  nuqtada  hosilaga  ega  bo‘lsa,  (1)  limitining 

qiymati   

z



  nolga  qaysi  yo‘l  bilan  intilishiga  bog‘liq  emas.  Demak,  biz 

z

z





0

 

nuqtani 

0

z

 

nuqtaga  parallel  holda  ham  intiltirishimiz  mumkin.  Bu  holda 

0

,











y

x

z

 bo‘ladi (1 a) rasm). 

 

      y                                                                                y 

 

                                                                                                                 

z

Z







0

 

                   

z



     

z

Z







0

 

     

0

Y

                                                                           

y



                      

z



 

                                         

x

                                      

0

Y

                             

0

Z

   

x 

      0     

0

X

        

x

X





0

                                              0                   

0

X

 

                     a)                                                                            b) 

1-rasm 

---

                                                       

 

x

y

i

x

u

z

f















0

                                              (3)  

Xuddi  shuningdek 

z

z





0

  nuqta 

0

z

  ga 

Oy

  ga  parallel  holda  intiltirsak 

y

i

z

x











,

0

 bo‘ladi va (2) dan ushbu kelib chiqadi (1 b –rasm). 

 

y

u

i

y

y

u

i

y

y

y

i

y

i

u

z

w

z

f

y

y

z





































































0

0

0

0

lim

lim

lim

 

                                             

 

y

u

i

y

v

z

f















0

                                                         (4) 

(3) va (4) lardan ushbu tenglamalarni hosil qilish mumkin 

                                 

y

u

x

y

x

u

y

u

i

y

x

i

x

u





















































;

                             (5) 

(5) Koshi-Riman shartlari. 

 

Teorema.

   

 

z

f

  funksiya 

0

z

  nuqtada  differensiallanuvchi  bo‘lishi  uchun 

   

y

x

v

y

x

u

,

,

,

  funksiyalar   

0

z

  da  differensiallanuvchi  va  Koshi  –  Riman 

shartlarining bajarilishi zarur va yetarlidir. 

 

1-misol

. 





i

y

x

y

x

w

2

2

2







 hosilaga egaligi yoki ega emasligini toping. 

 

Yechish.

 

x

y

v

y

x

v

y

y

u

x

x

u

2

,

2

,

2

,

2



























    Koshi-Riman  shartlarini 

x

v

y

u

y

v

x

u





















;

 tekshiramiz. 

 

y

y

x

x

2

2

;

2

2









. Demak, bu funksiya hosilaga ega. 

 





z

y

i

x

y

i

x

x

v

i

x

u

w

z

f

2

2

2

2





























  yoki 

 









 

 

z

z

z

f

z

y

i

x

y

x

i

y

x

z

f

2

2

2

2

2

2

2





















 

 

2-misol. 

x

i

y

w





 

hosilaga ega ekanligini tekshiring. 

 

Yechish. 

.

0

,

1

,

1

,

0

,

,





























y

v

x

v

y

u

x

u

x

v

y

u

 





1

1

0





























x

v

y

u

y

v

x

u

  bitta  shart  bajarilmagani  uchun  bu  funksiya 

hosilaga ega emas. 

Biz ko‘rdikki, agar funksiyaning nuqtadagi hosilasini topish kerak bo‘lsa, quyidagi 

4 ta formulaning biridan foydalanish mumkin. 

    

 

 

 

 

y

u

i

x

u

z

f

x

v

i

y

v

z

f

y

u

i

y

v

z

f

x

v

i

x

u

z

f

























































,

,

,

      

(6)

   

Lekin 

 

z

f

 funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari ajralmagan holda bo‘lsa, bu 

formulalardan  foydalanish  noqulay  bo‘ladi. 

 

z

f

  ning  hosilasiga  matematik 

analizdagi  haqiqiy    o‘zgaruvchili  funksiyaning  hosilasi  qoidalarini  qo‘llash 

mumkin, ya’ni: 

---

 

 





 

 

 





 

 

 

   











































z

f

z

f

n

z

f

z

f

c

z

f

c

z

f

z

f

z

f

z

f

z

c

n

n

1

2

1

2

1

.

5

.

4

.

3

1

.

2

0

.

1

 

 

3-ta‟rif

. Agar 

 

z

f

 funksiya 

E

 sohaning  

0

z

 nuqtasida va uning atrofida ham 

differensiallanuvchi bo‘lsa, u funksiya shu nuqtada 

analitik

 deyiladi. 

 

4-ta‟rif

.  Agar 

 

z

f

  funksiya 

E

  sohaning  barcha  nuqtalarida  hosilaga  ega 

bo‘lsa, u funksiya 

E

 da 

analitik

 deyiladi. 

 

5-ta‟rif

. 

 

z

f

  funksiya    analitik  bo‘lgan  nuqtalar  uning  to‘g‘ri  nuqtasi, 

analitik  bo‘lmagan nuqtalari esa 

maxsus nuqtalari

 deyiladi. 

 

3-misol.

 

3

2

2

y

x

i

y

x

w







funksiyaning  analitik  yoki  analitik  emasligi 

tekshirilsin. 

 

Yechish. 

2

3

3

2

2

3

,

,

2

,

2

,

,

y

x

y

v

y

x

v

y

y

v

x

x

u

y

x

v

y

x

u































 





3

2

,

0

;

0

3

2

3

2

2

2













y

x

y

x

y

x

x

 

 





 

0

,

0

,

0

;

0

2

2

2

3



















y

y

y

y

y

y

 - shu nuqtadagina hosila mavjud, boshqa 

nuqtada hosila yo‘q, ya’ni funksiya analitik emas. 

 

 

 

---

Foydalanilgan adabiyotlar

 

1 

Ё.У.Соатов  

Олий математика 1,2,3,4,5-кисмлар 

Тошкент 

1992, 

1994, 1996 

2 

В.П.Минорски   Сборник задач по высшей математике.  Москва 

1977, 

1987 й 

3 

А.Саъдуллаев   Математик  анализ  курси.  1,2,3-

кисмлар 

Тошкент 1993 

4 

В.Е.Шнейдер   Олий математика  киска курси.  

1-кисм 

Тошкент 1985 

5 

В.С. Шипачев   Высшая математика. 

Москва 1985  

6 

Х.Латипов 

Олий математика. 

«Алокачи», 

Тошкент, 2005