Andijon mashinasozlik instituti “mashinasozlik” fakulteti “oliy matematika” kafedrasi

  

V. 1. Darajali funksiya

: 

n

z

w



 

a) 

n

 – natural son bo‘lsa, 



n

i

n

n

e

r

z

w

N

n







,

; 

b) 

q

n

1



 

- kasr son bo‘lsa 

...

,

2

,

1

,

0

,

2

sin

2

cos





























k

q

k

i

q

k

r

z

w

q

q









 

q

 ta ildizga ega. 

 

2. Ko„rsatkichli funksiya: 

Biz 

n

z

w



 bo‘lgan hol bilan ko‘proq ish ko‘ramiz, ya’ni 





y

i

y

e

e

e

w

x

y

i

x

z

sin

cos











 bundan 

a) 













z

y

i

x

x

i

y

i

x

i

z

e

e

e

y

i

y

e

e

e































2

sin

2

cos

2

2

  ,  ya’ni 

z

e

w



 

funksiya 

i



2

  sof    mavhum  davrli.  Bu  haqiqiy  sonlar  nazariyasidagi  ko‘rsatkichli 

funksiyadan farqli demakdir. 

b) 

2

1

2

1

z

z

z

z

e

e

e







;    v) 

2

1

2

1

/

z

z

z

z

e

e

e





;      g) 

 

m

z

m

z

e

e



 mos bo‘ladi. 

3. Logarifmik funksiya: 

z

w

ln



. 

Logarifmik funksiya 

deb, ko‘rsatkichli funksiyaga teskari bo‘lgan  

z

w

ln



 

ushbu 

ko‘rinishdagi funksiyaga aytiladi. Agar 

w

e

z



 

bo‘lsa, 

z

w

ln



 

bo‘ladi. 

 





...

,

2

,

1

,

0

2

ln

ln

ln

















k

i

k

i

r

e

r

z

w

i







 

Bunda 



i

r



ln

 

- 

logarifmik  funksiyaning  bosh  qismi 

deyiladi.  Bulardan 

ko‘rinadiki,  kompleks  o‘zgaruvchining  logarifmik  funksiyasi  ko‘p  qiymatli  ekan. 

Kompleks  o‘zgaruvchining  logarifmik  funksiyasi  ham  haqiqiy  o‘zgaruvchining 

logarifmik funksiyasining ko‘pgina xossalariga bo‘ysunadi. 

---

Masalan:   1) 





2

1

2

1

ln

ln

ln

z

z

z

z





           3)  

 

i

k

z

n

z

n



2

ln

ln





 

 

        2) 





2

1

2

1

ln

ln

/

ln

z

z

z

z





         

 4)  

Z

n

Z

n

ln

1

ln



 

 

2-misol.

 

i

4

3



ning logarifmini toping. 

 

Yechish. 

3

4

arg

,

5

16

9

4

3

tg

arc

z

i

z













 

                             













...

,

2

,

1

,

0

2

3

4

5

ln

4

3

ln

3

4

5

ln

4

3

ln





















k

i

k

tg

arc

i

i

tg

arc

i

i



 

 

 

4. Kompleks o„zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari. 

 

 

Ushbu   

z

i

z

e

z

i

sin

cos





  va 

z

i

z

e

z

i

sin

cos







 

Eyler  formulalari  berilgan  bo‘lsin. 

Bu  formulalarni  hadlab  qo‘shib  va  ayirib,  quyidagi  funksiyaning  trigonometrik 

funksiyalarini aniqlaymiz. 

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

z

i

e

e

e

e

i

z

ctg

e

e

e

e

i

z

z

z

tg

i

e

e

z

e

e

z

w





































,

cos

sin

,

2

sin

,

2

cos

 Kompleks  o‘zgaruvchilarning    trigonometric  funksiyalari  ham  haqiqiy 

o‘zgaruvchili  funksiyalarning  ko‘pgina  xossalariga  bo‘ysunadi.  Bunda  faqat 

kompleks  son 

z

cos

  va 

z

sin

  funksiyalarining  modullari  birdan  katta  ham  bo‘lishi 

mumkin. 

Masalan: 

i

e

e

i

i

e

e

i

e

e

i

ii

ii

17

,

1

2

1

2

2

sin

2

1



















 

                  

1

cos

,

1

sin

54

,

1

2

1

2

2

cos

2

1























i

i

e

e

e

e

e

e

i

ii

ii

 

 

 

5. Teskari trigonometrik funksiyalar.  

 

Agar 

w

z

sin



 trigonometrik funksiya berilgan bo‘lsa, 

w

 – o‘zgaruvchi unga teskari 

funksiya bo‘lib, u 

z

 ning 

arksinusi

 deyiladi va bunday yoziladi 

z

Arc

w

sin

.  Xuddi 

shuningdek, 

z

Arcctg

w

z

Arctg

w

z

Arc

w

,

,

cos

. 

a) 

0

1

2

2

1

2

sin

2

2





















w

i

w

i

w

i

w

i

w

i

w

i

e

z

i

e

e

i

e

i

e

e

w

z

 

y

e

w

i



 desak,  unda 

 

0

1

2

2







y

z

i

y

 

 

2

2

2

,

1

1

1

z

z

i

z

i

z

i

y













 

                    













2

2

2

2

1

ln

sin

1

ln

1

sin

1

ln

ln

;

1

z

z

i

i

z

Arc

w

z

z

i

i

z

Arc

w

z

z

i

e

w

i

z

z

i

e

w

i





































                     (6) 

---

Xuddi shuningdek 

                                          





1

ln

cos

2











z

z

i

z

Arc

w

                                        (7) 

                                                 

z

i

z

i

i

z

Arcctg

w











1

1

ln

2

                                                        

(8) 

                                                 

i

z

i

z

i

z

Arcctg

w









ln

2

                                                           

(9) 

Teskari  trigonometric  funksiyalar 

ln

  ga  bog‘liq  bo‘lganligi  uchun  ular  ham  ko‘p 

qiymatli funksiyalardir. 

 

3-misol. 

 

Arcsin

 2 ning barcha qiymatlarini hisoblang. 

 

Yechish. 

















...

,

2

,

1

,

0

2

3

2

ln

2

2

2

3

2

ln

3

2

ln

2

sin









































k

k

i

i

i

k

i

i

i

i

i

Arc







