Fizika kursi

1.  Shredinger  tenglamasini  erkin  zarralar  uchun  tadbiqi. 

Agar  zarra  erkin,  unga  hech  qanday  tashqi  kuchlar  ta’sir  etmayotgan 

bo‘lsa,  uning  potensial  energiyasi  nolga  (U=0)  teng  bo‘lib,  to‘liq 

energiyasi  uning  kinetik  energiyasidan  iborat  bo‘ladi.  Masalani 

soddalashtirish  uchun  zarra  koordinatining  X  o‘qqa  parallel  holda 

harakatlanmoqda  deb  olamiz.  Uni  koordinatalaridan  olingan  xususiy 

hosilalari nolga teng bo‘lib, Laplas operatorida bitta had qoladi: 

2

2

x

∂

∂

=

∆

ψ

ψ

 

Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko‘rinishni oladi: 

0

2

2

2

2

=

+

∂

∂

ψ

ψ

W

m

х

h

 

 

 

(19.10) 

(19.10)  ko‘rinishdagi  Differensial  tenglamaning  xususiy  yechimi  yassi 

to‘lqin tenglama ko‘rinishida bo‘ladi: 

)

sin(

)

,

(

k

х

t

А

t

х

−

=

ω

ψ

 

 

 

(19.11) 

Bunga ishonch hosil qilish uchun (19.11) ifodani va 

2

2

t

∂

∂

ψ

 ni (19.10) ga 

qo‘yib ko‘ramiz. 

0

)

sin(

2

)

sin(

2

2

=

−

+

−

−

k

х

t

W

m

k

х

t

А

k

ω

ω

h

 

bundan 

---

 

323

mW

k

2

1

h

=

   

 

 

(19.12) 

ekanligini topamiz, 

P

mW

=

2

 bo‘lgani uchun 

h

р

k

=

  

 

 

(19.12a) 

kelib  chiqadi.  Ko‘rinib  turibdiki,  hosil  qilingan  bu  ifoda  de-Broyl 

formulasining  o‘zginasidir.  Bu  Shredinger  tenglamasidan  de-Broyl 

formulasi kelib chiqishini bildirmaydi. Aslida buni teskarisi Shredinger, 

o‘zida de-Broyl to‘lqinini mujassamlashtirgan tenglamani izlab topgan. 

 

(19.12)ni boshqacha ko‘rinishda ham yozish mumkin. 

)

2

(

)

2

(

2

2

2

т

Р

m

k

W

х

=

=

h

 

 

 

(19.13) 

(19.13) dan ko‘rinadiki, erkin zarraning energiyasi har qanday qiymatni 

olishi  mumkin.  Ya’ni  uni  energiyasining  spektri  uzluksizdir.  Bu  to‘lqin 

soni  k  ni  va  zarraning  impulsi  Px  ni  uzluksiz  holda  o‘zgarishidan  kelib 

chiqadi. 

 

Shunday  qilib,  erkin  zarra  kvant  mexanikasida  yassi 

monoxromatik  de-Broyl  to‘lqini  (19.11)  bilan  ifodalanadi.  Bunday 

zarrani  fazoning  har  qanday  nuqtasida  topilish  ehtimolligi  bir  xil  va 

vaqtga bog‘liq bo‘lmay, amplitudaning kvadratiga teng: 

2

2

А

=

⋅

=

∗

ψ

ψ

ψ

 

Shredinger tenglamasi erkin zarraning energiyasiga hech qanday chegara 

qo‘ymaydi. Ya’ni, uni energiyasi kvantlanmaydi, u har qanday qiymatni 

olishi  mumkin.  Agar  zarra  bog‘langan  bo‘lsa,  uning  energiyasi 

kvantlanishi  mumkin.  Masalan,  atomdagi  elektron  yadroga  bog‘langan 

bo‘lgani  uchun  uni  energiyasi  uzlukli  qiymatlarni  oladi,  ya’ni 

kvantlanadi.