|
2. Cheksiz chuqur potensial o‘radagi zarra. Zarra kengligi
α
bo‘lgan
cheksiz chuqur potensial o‘rada harakatlanayotgan bo‘lsin. O‘rani
devorlari cheksiz baland bo‘lgani uchun zarracha undan tashqariga chiqa
olmaydi. Uni koordinatasi
а
х
≤
≤
0
qiymatlarini olishi mumkin. Zarra
o‘raning devorlariga urilib, undan qaytishi natijasida devorlar orasida
to‘g‘ri chiziqli trayektoriya bilan harakat qilishi mumkin. Zarraning bu
o‘radagi potensial energiyasi manfiy va cheskizdir (U=
∞
). Agar elektron
o‘radan chiqqan taqdirda ham, uning potensial energiyasi nol bo‘lib, u
324
erkin zarraga aylanadi. Shunday qilib,
а
kenglikdagi cheksiz chuqur
potensial o‘radagi zarraning potensial energiyasi uchun
>
∞
≤
≤
<
∞
−
=
а
х
а
х
х
x
U
,
0
,
0
0
,
)
(
shartni yozish mumkin. Bunday potensial o‘raning grafigi 19.3-rasmda
ko‘rsatilgan. Bu o‘rada harakatlanayotgan m – massali mikrozarra uchun
Shredinger tenglamasi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
0
)
(
2
2
2
2
=
Ψ
−
+
∂
∂
U
W
m
Х
h
ψ
(19.14)
O‘rani devorlari cheksiz baland bo‘lgani uchun zarra o‘radan tashqariga
chiqa olmaydi. Shuning uchun zarrani o‘radan tashqarida bo‘lish
ehtimolligi nolga teng.
O‘rani chetlarida x=0 va x=
а
bo‘lganda to‘lqin funksiya ham
nolga aylanadi. Ya’ni chegaraviy shart
ψ
(x)=
ψ
(
а
)=0 bo‘ladi. O‘rani
ichidagi zarra uchun Shredinger tenglamasi
0
2
2
2
2
=
Ψ
+
∂
∂
W
m
Х
h
ψ
yoki
0
2
2
2
=
Ψ
+
∂
∂
k
Х
ψ
(19.15)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda
2
2
2
h
mW
k
=
(19.16)
(19.15)
ko‘rinishdagi
Differensial
tenglamaning
umumiy
yechimi
k
х
В
k
х
А
х
cos
sin
)
(
+
=
ψ
tenglamadan
iborat bo‘ladi. Agar yuqoridagi chegaraviy
shartdan
ψ
(0)=0 bo‘lishi uchun V=0
ekanligini
hisobga
olsak,
(19.15)
tenglamani yechimi
k
х
А
х
sin
)
(
=
ψ
(19.17)
bo‘ladi, X=
а
ekanligini e’tiborga olsak, (19.17) ifoda
k
а
А
а
sin
)
(
=
ψ
ko‘rinishni
oladi.
Yuqoridagi
chegaraviy
shart,
ya’ni
0
sin
)
(
=
=
k
а
А
а
ψ
bo‘lishi faqat k
а
= n
π
(n=1,2,3,
…
) bo‘lganda
bajariladi. Demak,
U
x
x=a
x=0
19.3-rasm
325
a
n
k
π
=
(19.18)
(19.18) ni (19.16) ga qo‘yib, zarraning energiyasi uchun
)
,
3
,
2
,
1
(
,
2
2
2
2
2
K
h
=
=
n
ma
n
W
π
(19.19)
ifodani topamiz.
Bu ifodadan quyidagi xulosa kelib
chiqadi: potensial o‘radagi mikrozarraning
energiyasi ixtiyoriy qiymatlarga emas, balki
qator diskret qiymatlarga ega bo‘lishi mumkin
(19.4-rasm).
Wning
kvantlashgan
bu
qiymatlarini
energetik
sathlar
deb,
mikrozarraning energetik sathini aniqlovchi n
son esa kvant son deb ataladi. Shunday qilib, W
ning faqat (19.19) ifoda bilan aniqlanuvchi
qiymatlargina Shredinger tenglamasi yechimga ega bo‘lar ekan.
Energiyaning bu qiymatlarini W ning xususiy qiymatlari deb,
tenglamaning ularga mos kelgan yechimlarini esa masalaning xususiy
funksiyalari deb ataladi.
Endi (19.19) dan foydalanib, qo‘shni W
n
va W
n+1
energetik
sathlarning bir-biridan uzoqligini topaylik:
)
1
2
(
2
2
2
2
1
+
=
−
=
∆
+
n
ma
W
W
W
n
n
h
π
(19.20)
Bu ifodadan foydalansak, kengligi atom o‘lchamiga mos keluvchi
(
а
∼
10
-10
m) potensial o‘radagi elektron (m
e
∼
10
-30
kg) energiyasining
xususiy qiymatlari uchun
eV
n
J
n
W
)
1
2
(
10
34
,
0
)
1
2
(
10
10
2
10
05
,
1
14
,
3
2
20
30
68
2
2
+
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
≈
∆
−
−
−
ekanligini topamiz. Bu holda energetik sathlarning
diskretligi juda aniq namoyon bo‘ladi. Biror
(
а
=10
-2
m) bo‘lgan potensial o‘ra uchun,
molekula massasi
∼
10
-26
kg deb hisoblasak, u holda
эВ
n
W
)
1
2
(
10
34
,
0
18
+
⋅
=
∆
−
ni hosil qilamiz. Bu holda
energetik sathlar shunchalik zich joylashgan
bo‘ladiki, ularni uzluksizga yaqin deb hisoblasa
ham bo‘ladi. Aslida, energetik spektr faqat
а
→∞
dagina ( W=0) uzluksiz qiymatga ega bo‘ladi.
n=1
n=2
n=3
n=4
W
1
W
4
W
3
W
2
19.4 – rasm
19.5 - rasm
326
Energetik sathlarning joylashuvi haqida mulohaza qilish uchun
(19.20)ni (19.19) ga nisbatini olib,
2
1
2
n
n
W
W
п
+
=
∆
(19.21)
munosabatni hosil qilamiz. n ning ancha katta qiymatlarida kasr
suratidagi 1 ni hisobga olmasa ham bo‘ladi, natijada
∆
W/W
n
≈
2/n hosil
bo‘ladi. Demak, n kattalashgan sari
∆
W ning qiymati W
n
ga nisbatan
kichiklashib boradi. Natijada energetik sathlar bir-biri bilan tutashadigan
darajada yaqinlashib ketadi. Boshqacha qilib aytganda, kvant sonining
katta qiymatlarida kvant mexanikasining xulosalari klassik fizikada
olingan natijalarga mos kelishi kerak. Bu qoida Bor tomonidan
aniqlangan bo‘lib, uni moslik prinsipi deb ataladi. Klassik fizikaga ko‘ra
o‘radagi zarraning barcha holatlari bir xil ehtimollikda bo‘ladi. Kvant
mexanikasida bu hodisa quyidagicha tahlil qilinadi. Shredinger
tenglamasining yechimi, ya’ni n kvant sonining bizni qiziqtiruvchi
qiymatlari uchun to‘lqin funksiyalarini topib,
2
Ψ
ning grafigini chizish
kerak. 19.5-rasmda
2
Ψ
ning x ga bog‘liqlik grafigi n ning turli
qiymatlari uchun tasvirlangan.
Rasmdan ko‘rinadiki, n=1 holatda zarrani qayd qilish ehtimolligi
o‘raning o‘rtasida maksimumga erishadi. n=2 holatda esa zarrani o‘ra
devorlariga yaqin nuqtalarda va o‘raning o‘rtasida topib bo‘lmaydi,
chunki bu nuqtalarda
2
Ψ
=0. Bu holatda zarraning qayd qilish
ehtimolligi o‘raning ikki nuqtasida maksimumga erishadi. n=3 holatda
esa zarrani qayd qilish ehtimolligi uchta maksimumga erishadi. n ning
ancha katta qiymatlarida ehtimollik maksimumlarini xarakterlovchi
do‘ngliklar ham ortib boradi, ammo bu do‘ngliklarning hammasi
∆
x=
а
kenglikda joylashishi kerak. n kattaroq bo‘lgani sari do‘ngliklar bir-biri
bilan tutashadigan darajada yaqin joylashadi, ya’ni zarrani qayd qilish
ehtimolliklari bir xil bo‘lgan nuqtalar soni ortib boradi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
