T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

. . . , u „ ( x )  
funksiyalaming 
x  
nuqtada 
hosilalari 
mavjud 
boMsa, 
u 
holda  / (x )  =  иг(х) + 
u2(x)+ ...
 + un(x) 
funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli boMadi:
/■'(*)  =  (ui(x) +  U2(x) + ... + Un(x))'  s  Ul'(x) +  u2'(x) + ••• + !*„'(*)•
2.Ko‘paytmaning hosilasi.
5.13-teorema
  Agar  tt(x)  va 
v(x)
  funksiyalar x e 
(a, b)
  nuqtada  hosilaga 
ega boMsa, u holda ulaming /(x )  =  u(x) v(x) ko‘paytmasi ham x 6 
(a, b)
 nuqtada 
hosilaga ega va
f'(x)
  = u'(x) ■
 v(x) + u(x) ■
 i/(x) 
(2)
tenglik o‘ rinli boMadi.
Isbot. 
0  /(x )  = u (x )v (x )  boMsin,  u  holda  Ду =  / ( x  + Дх) - / ( x )   =
u(* + Л*) »(* + д*) - u(x) » W  = |“ [* + 
= (»W  +
Дгг)(г;(х) + Дг) — 
u(x)v(x)
  = Auv(x) + Дггц(х) + 
AuAv.
 
Funksiya
133

---

orttirmasining  argument  orttirmasiga  nisbatini  soddalashtirib,  limitga  ega 
funksiyalar ustida arifmetik amallar va hosilasi mavjud funksiyaning uzluksizligi dan
foydalansak:  lim  ^  =  ( lim 
• 
v(x)
 + ( lim 
■
 
u(x)
 +  lim  ^  •  lim 
Av
 =
Дх-+0 
\Дх->оД*/ 
\Дг-»оДлг/ 
Дх-*0 Д*  Дх->0
u’(x) v(x) + u(x) v'(x) + и'(х)-
  lim 
Av
 = 
u’(x) v(x)
  + 
u(x) v’(x)
 bo'ladi. ♦
Дх-»0
5.14-natija  Quyidagi  (Си(дс))'  = 
C u'(x
) formula o'rinli.
Isbot. 
0 5.13-teoremaga ко' ra, (
Cu(x
))' = 
C' u(x)
 + 
C u‘(x).
 AmmoC’ =  0, 
demak (Cu(x))' = 
C u'(x).
 ♦
5.15-natija. Agar 
(x), 
u2(x),..., un(x)
 funksiyalar 
x
 nuqtada hosilaga ega 
bo'lsa, uholda ulaming ko'paytmasi
fix)
  = 
иг(х) и2(х)-...  un(x)
 ham* nuqtada 
hosilaga ega va quyidagi formula o'rinli bo'ladi:
f'(x)
  =  (u1( * ) u 2(> )- ...u ri(* )y   =  
u[(x)-u2(x)-...-Unix) +
Щ (х)и2'(х
)• 
un(x
) + — + 
щ (х)и 2(х)-...-UnXx)
Isbot 
(5-19-masala).
3. Bo‘linmaning hosilasi.
5.16-teorema,  Agar u(x)  va  t?(x)  funksiyalar 
x E (a, b)
  nuqtada hosilaga 
ega, 
v(x) Ф
  0  bo'lsa,  u  holda  ulaming / ( * )   = 
u(x)/v
(*)  bo'linmasi 
x E
  (
a,b) 
nuqtada hosilaga ega va
J  У  J 
V2(X)
 
v 
)
formula o'rinli bo'ladi.
Isbot. 0 
f{x)
  = ^
 bo'lsa, u holda 
Ay
 =  
fix
 + 
Ax)
 -  
fix ) =
 
-
т |  =  Т ^ и л Г п 1-  Nisbatni  quyidagicha  yozib  olamiz:  — =  
Au'v^ ~ Av'u^
  =
v(x) 
(v(x)+Ar)-v(*) 
't  J 
b  
j
 
^  
(V(x)+&v)-v(x)bx
vix) - u(x)
 £■) • 
Z
hx
)~+
v
(
x
)A
v
-  Ax^ °
  da  ,imitSa  o'tamiz,  limitga  ega
funksiyalaming  xossalari  va  13-teorema  isbotidagi  kabi  lim 
Av
 = 0  tenglikdan
д*-»о
foydalansak, 
lim  ^  =  lim  (— 
vix) -
 u(x) — ) ---- -----=
Дх
- » 0
 
Ах
 
Дд—*0 
\A
x
 
4 
'
  Д
x )
  v 2(x)+p(x)Av
и'(ЛС)17(х)—U(x)"V/(x) 
.. 
.
.
.
-------------  natijaga erishamiz, ya’ni (3) formula o'rinli ekan. ♦
134

---

5.17-misol. Ushbu / (x )  = 
^ funksiyaning hosilasini toping. 
Yechish. 
f'(x)  =
 (Н+П'  =   (3” 7),'(5"-4|-1^*7).(5»-4)' =
J
  4 
J
 
\5X—4 / 
(5ЛГ-4)2
3 g » - « ) - 5 ( 3 *  +  7)  ------ 4 7  
------- 4 T _
(5яг—4 )2 
(5 x - 4 )2 
(5ЛГ-4)2
З х + 7
5-§. Murakkab funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi
5.1. 
Murakkab  funksiyaning  hosilasi. 
Aytaylik, 
и
  =  
(a, b) intervalda, у = / ( u )  funksiya esa (c; d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar 
yordamida 
у
 = /(x
 e 
(a,b)
 daw  = 
d)
 bo'lishi talab qilinadi).
5.18-teorema. 
Agar u  = 
x e
  (a, 
b
) nuqtada hosilaga ega, 
у = 
/ ( u )   funksiya  esa  u =  
/О О О ) 
murakkab funksiya 
x
 nuqtada hosilaga ega va
(/O K *)))'  =   № ) V ( x )  
(1)
formula o'rinli bo'ladi.
Isbot. 
0 u = 
x 
nuqtadagi orttirmasini
Au
 = 
(p\x)
 Дх + аДх 
(2)
ko'rinishda yozish mumkin, bu yerda Д х^О da cr-*0.
Shunga o'xshash, у = / (u) funksiyaning 
и
 nuqtadagi orttirmasini 
Ду = 
f'(u)Au
 + /?Ди 
(3)
ko'rinishda yozish mumkin, bunda 
Au->0
 da 
(3->
0.
So'ngi (3) tenglikdagi Дu o'miga uning (2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini 
qo'yamiz. 
Natijada 
Ду = 
f'{u)((p'
 (х)Дх + агДх) + /?(<р' (х)Дх + сгДх)  = 
f'(u)(p\x)
Дх + 
(f'(u)a
 + 
(p'(x)P
 + 
ар)
Дх  tenglikka egabo'lamiz.
Agar  Дх-Х)  bo'lsa,  (2)  tenglikdan 
0  va 
Au-M)
  bo'lishi,  agar 
Au-^0 
bo'lsa, u holda (3) tenglikdan /?-*0  ekanligi kelib chiqadi.  Bulardan esa Дх-*0  da 
f'(u)a + 
 + 
aft
  cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni 
у
 bilan 
belgilaymiz.
135

---

Shunday  qilib,  Ду =  /'(и)<р'(х)Дх 
+ у Ax
  tenglik  o‘rinli.  Bundan  — =
Ax
f(u)
) + 
у
 va JLmri^ ^  =  /'(u)
f r(u)(p'(x
) ekanligini isbotlaydi. ♦
5.19-misol.  у =  (x 2  — 
funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.  Bu yerda у = u 4,  u  = (x 2 — 
Demak, y'  =  (u 4)'-  (x 2 — 
=
4u3(2* - J r ) = 8 (*2- ! ) 3(*-r?)
Amalda  (1)  tenglikni  ^  
^   ^   yoki  yx' = Уц
11
* 
ko‘rinishda  yozib, 
quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab  funksiyaning  erkli  o‘zgaruvchi  bo‘yicha  hosilasi  oraliq 
olzgaruvchi  bo‘yicha  olingan  hosila  va  oraliq  o‘zgaruvchidan  erkli  o'zgaruvchi 
bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu  qoidani  quyidagicha  talqin  qilish  mumkin:  agar  berilgan  nuqtada  у 
o‘zgaruvchi 
и
 ga nisbatan 
yu'
 marta tez, u esa x ga nisbatan 
u'x
  marta tez o'zgarsa, 
u holda 
у
 o'zgaruvchi x ga nisbatan 
yu'u'x
  marta tez o‘zgaradi, ya’ni 
y'x
 = 
yu'u'x .
Yuqoridagi  qoida  uchta,  umuman  chekli  sondagi  hosilaga  ega  boMgan 
funksiyalar kompozitsiyasi  uchun ham o‘rinli.  Masalan, agar у = /(u ), 
и = 
 
t =
 h(x) boMsa, u holda 
y'x
  =  
yu'u't t'x
  tenglik o‘rinli boMadi.
5.2. Teskari funksiyaning hosilasi.
5.20-teorema.
  Agar у = /(x )  funksiya  [a; 
b]
  kesmada  monoton  o‘suvchi, 
(a; 
b)
 intervalning har bir nuqtasida noldan farqli 
y'
 = /'(x ) hosilaga ega boMsa, u 
holda  bu  funksiyaga  teskari  boMgan  x =  
hosilaga ega va  ixtiyoriy  у 6  (/(a ); 
f(b))
  uchun  uning hosilasi  1 //'(x )  ga teng 
boMadi.
Isbot.  0  Aytaylik,  у = /(x )  funksiya 
[a;b]
  kesmada  o‘suvchi,  (a;fr) 
intervalda 
y'
  = /'(x ) hosilaga ega va ixtiyoriy x 6 
(a, b)
  uchun /'(x ) 
Ф
 0 boMsin. 
Quyidagi belgilashlami kiritamiz: / ( a )   = 
a,
 / ( b )   = /?. U holda у  = /(x ) funksiya 
uchun  teskari  funksiyaning  mavjudligi  va  uzluksizligi  haqidagi  teorema  shartlari
136

---

bajariladi,  chunki 
у = fix )
  funksiyaning  uzluksizligi  uning  hosilaga  ega 
ekanligidan  kelib  chiqadi.  Shunday  qilib, 
[a;
 /?]  kesmada  у  =  
f(x)
  funksiyaga 
nisbatan teskari bo'lgan 
x
 =  
cp(y
) funksiya mavjud boMadi.
Teskari funksiya argumenti у ga Ду 
Ф
  0 orttirma beramiz. U holda 
x
  = 
funksiya  biror 
Ax
  = 
cp(y)
  orttirma  oladi  va  teskari  funksiyaning 
monotonligidan 
Ax Ф
  0, uzluksizligidan esa Ду-*0 da Дх^>0 ekanligi kelib chiqadi. 
Endi 
x
 = 
cp(y)
  funksiyaning  hosilasini  topamiz.  Yuqorida  aytilganlami
e’tiborga olsak,  hosilaning ta’rifiga ko'ra  lim  — = —
r-r
 = ——   demak 
x j  —
Ay
~*0  д
У
 
lim   ^  
У
Лх-*оДу
<р'(У
)  =   1 
/f\x)
  formula o'rinli ekan. ♦
5.20-teorema 
f(x)
  funksiya  kamayuvchi  bo'lganda  ham  o'rinli  (5-72- 
masala).
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
formula bilan ifodalanadi.