|
1
+
(x —
1
),
ya’ni
у
= x.
5.9-misol
у
= x2
parabolaning Л (0;—4) nuqtadan o‘tuvchi urinma
tenglamasini yozing.
Yechish. Berilgan nuqtay =
x2
parabolaga tegishli emasligi ko‘nnibturibdi.
Aytaylik,
x
=
x0
nuqta urinish nuqtasining abssissasi boMsin. U holda
f(xQ)
=
x0z,
f'(x)
=
2x, f'(x0) = 2x0.
(1) formuladan foydalansak
у
= x02 + 2x0(x - x 0)
ya’ni
у
= 2x0x
-
X q 2
(3)
tenglamaga ega boMamiz.
Shartga ko‘ra urinma (0; —4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3) tenglamada
x
va
у
о miga 0 va —4 qiymatlarini qo‘yib x0 ga nisbatan —4 = — Xq2 tenglamaga ega
boMamiz. Bundan
x0
= 2,
x0 = -2
boMishini topamiz.
Agar
x0
= 2 boMsa, u holda urinma tenglamasi у = 4x — 4; agar
x0 =
—2
boMsa, у = -4x - 4 boMadi.
130
Shunday qilib, ko'rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita у =
4x
- 4, у =
—4дс — 4 urinma tenglamasim hosil qildik.
Mashq va masalalar
Ta’rifdan foydalanib, quyidagi funksiyalaming hosilalarini toping (1-4):
5-1. у = -4.
5-2. у =
ex.
5-3. у = 5t3 - 2t + 7.
5-4.
f(h) =
' K
'
h2 + l
Hosilaning ta’rifidan foydalanib
f'(x0
) ni toping (5-6):
5-5.
f(x
) =
Ax2 — 3x + 8,x0
= 1.
5-6. / (
x)
=
cos
2x, x0 = 0.
5-7. 5.6-teoremani isbotlang.
5-8.
у = fix)
funksiyaning
xQ
nuqtadagi hosilasini toping:
a) У = (* + 2)(* +
2){x
+ 3)(л: + 4)(x + 5),
x0 =
-3;
b) у = (1 +
axb){l
+
bxa
), x0 = 1.
( M “ sin(±),
5-9. a ning qanday qiymatlarida у =
funksiya
c)y =
a) uzluksiz bo'ladi; b) hosilaga ega bo'ladi; c) uzluksiz hosilaga ega bo'ladi.
5-10. Quyidagi funksiyalarm differensiallanuvchanlikka tekshiring:
а) У =
x\x\;
b )y = |siru:|;
x ^ agar x <
0,
d)
- ( * 3,
a9ar x ^ Q>
,e~,
agar x >
0
^
1 0,
agar x
6 /.
5-11. Agar
x = x0
nuqtada chekli bir tomonli hosilalar mavjud, lekin
/+(*o) ^
f-{x0
) bo'lsa, u holda funksiyaning grafigi qanday bo’ladi? Bu holda
(x0,
f
(x0)) nuqta grafikning
sinish nuqtasi
deyiladi.
5-12. / funksiyaning abssissasi x0 nuqtadagi urinmasi va normali
tenglamalarini tuzing:
a)
f{x) = x5 -3x + 2,x0 =
1;
6
) fix )
=
x2 - x - 1, x0
= -1
5-13. Usbu (—2; 11) nuqtadan o'tuvchi va у =
x2
—
4x
funksiyaning
grafigiga urinadigan barcha to'g'ri chiziqlami toping.
131
5-14. Berilgan funksiyalaming grafiklanga umumiy bo’lgan urinmani toping:
а) у =
x1
+
x va у = x2
-
Зх,
б) у =
x2
+
2x
va у =
x2 - 4x;
5-15. Ba'zi nuqtalarda ^ H m ^
+ o o (-
g c
)
ga teng bo'lishi mumkin. Bunday
hollarda shu nuqtalarda funksiya
cheksiz hosilaga
ega yoki funksiyaning hosilasi
cheksizga teng deyiladi.
a) Ushbu
у = y/x
funksiyaning
x
= 0 nuqtada hosilasi mavjudmi?
b) Shu funksiyaning grafigini chizing, uning abssissasi
x
= 0 bo'lgan
nuqtasidagi urinmasi mavjudmi?
5-16. Cheksiz hosila uchun ham bir tomonli cheksiz hosila tushunchasini
qarash mumkin. Berilgan
x0
nuqtada /+(x0) = +°°. /+(*0)
=
-оо,/+(л:0) = -с»,
f-{x
о) = +oo bo'lishi ham mumkin.
у = \fx
funksiyaning
x
= 0 nuqtadagi bir tomonli hosilalarini mavjudmi?
5-17. Aytaylik, у =
f{x)
funksiya
x = x0
nuqtada uzluksiz va
f'(x
0) =
+oo (—oo) bo'lsin. U holda funksiya grafigi abssissasi
x = x0
nuqtada urinmasi
mavjudmi? Mavjud bo'lsa, uni sxematik rafishda chizing.
5-18. Aytaylik, у = / (
x)
funksiya
x
=
x0
nuqtada uzluksiz,
fl(x 0)
=
+oo va
fl(x0)
= —oo bo'lsin. U holda funksiya grafigining abssissasi
x
=
x0
nuqtada atrofidagi holati haqida nima aytish mumkin? Uni sxematik rafishda
chizing.
5-19. Urinmalar yordamida ikki egri chiziq orasidagi burchak tushunchasi
ta’riflanadi. Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ulaming kesishish nuqtasida shu
chiziqlarga o'tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.
a) Ikki egri chiziq orasidagi burchakni topish formulasini keltirib chiqaring.
b) у =
x2
parabola va у = ^ giperbolalar orasidagi burchakni toping.
4-§. Hosilani hisoblash qoidalari
u(x) va
v(x)
funksiyalar
(a, b)
intervalda aniqlangan bo'lsin.
1. Yig‘indining hosilasi.
132
5.10-teorema. Agaru(x) va v(x) funksiyalaming
x E (a,b )
nuqtada
hosilalan mavjud boMsa,
и
holda
f(x
) = u(x) +
v(x)
funksiyaning ham
x
nuqtada
hosilasi mavjud va
f'(x) = u'(x)
+
v\x)
(1)
tenglik o‘rinli boMadi.
Isbot.
0
f(x) —
u(x) + v(x) bo‘lsin, u holda Ду =
f(x + Ax)
- / (
x)
=
(
u(x + Ax) + v(x +
Дх)) - (u(x) + v(x)) = (u(x + Дх) — u(x )) -I- (v(x +
Дх) - v(x)) =
Au + Av
boMadi.
lim — = lim
Al~ Av
= lim ^ + lim ^ =
u'(x)
+
v’(x).
Ax->0
Д*
Дх-»0
Д*
Ax-*0
Д*
Дх->0 Да:
Shunday qilib, (1) tenglik o‘rinli ekan. ♦
5.11-misol.
у =
x2
+
1/x
funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.
y'
= (x2 + 1/x)' = (x2)' + (1/x)' = 2x — 1/x2. Demak, y' =
2 x - —
r
X 2
Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash
mumkin:
5.12-natija.
Agar u ^ x ), u 2(x),
Do'stlaringiz bilan baham: |
