T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

ax <
  1  boladi. 
Isbotlang.
4-56.  Agar  0  < a <  1  va 
x E
  (-oo;0)  bo‘lsa,  u  holda 
ax >
  1  bo‘ladi. 
Isbotlang.
4-57,  ^=shx  aniqlanish  sohasi  (-oo;+oo),  qiymatlar 
to‘plami  (-oo;-ke) 
intervaldan iborat toq funksiya, aniqlanish sohasida uzluksiz ekanligini isbotlang.
4-58. j=chx aniqlanish sohasi (-
qo
;+
oo
), qiymatlar to'plami (l;+oo) intervaldan 
iborat.  juft funksiya va aniqlanish sohasida uzluksiz ekanligini isbotlang.
4-59.  >>=thx  (-оо;-кю)  intervalda  aniqlangan  va  qiymatlar  to‘plami  (-1;1) 
intervaldan iborat toq funksiya, aniqlanish sohasida uzluksiz ekanligini isbotlang.
4-60. j^cthx (—oo; 0) U (0; +oo)  to‘plamda aniqlangan,  qiymatlari  to‘plami 
(-oo;-l)u(l;-foo)  dan  iborat  toq  funksiya,  aniqlanish  sohasida  uzluksiz  ekanligini 
isbotlang.
4-61. Giperbolik funksiyalar orasida quyidagi munosabatlar o‘rinli ekanligini 
isbotlang:
a) thx- cthx= 1;  b) ch2x-sh2x= 1, c) sh(Adbj)=shx- ch>±chx- shy,
d)ch(x±^)=chx chj±shx sh^,  e) sh2x=2shx chx,  f) ch2x=ch2x+sh2jc.
121

---

g)th(*±y)= 
,hx±,hy
  .  h)cth
(х±уУ*1±Лх"Ъ-.
1 ± 
thx  thy 
thx±thy
4-62. 
tgx
  funksiyani 
oraliqda o'rganing.  Shu natijalarga asoslanib
arctgx
 funksiyani ta’riflang, xossalarini ifodalang.
4-63. 
ctgx
  funksiyani  (0;7r)  oraliqda o'rganing.  Shu  natijalarga asoslanib 
arcctgx
 funksiyani ta’riflang, xossalarini ifodalang.
122

---

IKKINCHI BO‘LIM. BIR 0 ‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING 
DIFFERENSIYAL HISOBI
V BOB. HOSILA
l-§. Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar
1.1.  Egri  chiziq  urinmasi. 
Urinmaga  ta'rif 
berish  uchun  limit  tushunchasidan  foydalanishga 
to‘g‘ri keladi.  Faraz qilaylik, ybiror egri chiziq yoyi,
MQ
 shu egri chiziqning nuqtasi bo‘lsin. Egri chiziqqa 
tegishli 
N
 nuqtani tanlab, 
M0N
 kesuvchi o‘tkazamiz.
Agar 
N
  nuqta  egri  chiziq  bo'ylab 
MQ
  nuqtaga 
yaqinlashsa, 
M0N
  kesuvchi 
M0
 nuqta atrofida buriladi. 
30-rasm
Shunday holat bo'lishf mumkinki, 
N
nuqta M0 nuqtagayaqinlashgan sari 
M0N 
kesuvchi biror 
M0T
 limit vaziyatga intilishi mumkin. Bu holda 
MQT
 to‘g‘ri chiziq 
у 
egri  chiziqning 
M0
  nuqtasidagi  urinmasi  deyiladi.  (30-rasm).  Agar  kesuvchining 
limit holati  mavjud boMmasa,  u holda 
M0
  nuqtada urinma o'tkazish  mumkin emas 
deyiladi.  Bunday  hoi  M0nuqta  egri  chiziqning  sinish  (o‘tkirlanish)  nuqtasi 
bo‘lganda o‘rinli bo‘ladi.
1.2. 
Egri 
chiziq 
urinmasining 
burchak 
koeffitsientini  topish  masalasi.
Endi 
у
 egri chiziq biror oraliqda 
aniqlangan  uzluksiz  у = 
f(x
) 
funksiyaning  grafigi 
bo'lgan 
holda 
urinmaning 
burchak 
koeffitsientini 
topaylik.
Qaralayotgan 
f(x)
 
funksiya 
grafigini ifodolovchi  ^chiziqqa tegishli 
M0
 
31-rasm
nuqtaning abssissasi 
x0,
 ordinatasi 
f(x
0) va shu nuqtada urinma mavjud deb faraz 
qilaylik.
123

---

у
  chiziqda М0  nuqtadan  farqli