T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

N(x0
 + 
Ax,f(x0
 + Ax))  nuqtani  olib, 
M0N 
kesuvchi  o'tkazamiz.  Uning 
Ox
  o‘qi  musbat  yo'nalishi  bilan  tashkil  etgan 
burchagini 
a
  bilan  belgilaymiz  (31-rasm).  Ravshanki, 
a
  burchak  Дх  ga  bogMiq
boMadi: 
a = a(Ax)
 va 
tga
  = 
=  —  o‘rinli. 
v 
'  
a  
м0в
 
Дх
Urinmaning  abssissa  o‘qining  musbat  yo'nalishi  bilan  hosil  qilgan 
burchagini  0  bilan  belgilaymiz.  Agar 
в Ф ^
  boMsa,  u  holda 
tga
  funksiyaning 
uzluksizligiga  ko‘ra 
kurinma
  = 
tgd
  =  lim 
tga
,  va 
N
 nuqtaning  M0  nuqtaga
N-*M
q
intilishi 
Ax
 ning 0  ga intilishiga teng kuchli  ekanligini  e’tiborga olsak, 
kurinma
  =
Ду
lim  — tenglikka ega bo‘lamiz.
Ах^О
 Дх
Shunday  qilib, 
у
 =  / (x )  funksiyaning  abssissasi 
x0
  boMgan  nuqtasida
Ду 
• • 
• 
•
novertikal  urinma o‘tkazish  mumkin bo'lishi  uchun shu nuqtada  lim  — limitning
Дх-»0 Д*
mavjud bo'lishi zarur va yetarli,  limit esa urinmaning burchak  koeffitsientiga teng 
boMar ekan.
3. 
Harakatdagi nuqta tezligini topish haqidagi masala. 
Aytaylik, moddiy 
nuqta s = 
s(t)
 qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan boMsin. MaMumki, 
fizikada  nuqtaning 
t0
  va  t0 + 
At
 vaqtlar  orasida  bosib  o‘tgan 
As
  = s(t0 + At) — 
s(t0) yo Mining  shu  vaqt  oraligMga  nisbati  nuqtaning  o'rtacha tezligi  deyilar  edi:
vo'rta  =
 
Ravshanki, At  qancha kichik  boMsa,  ^  o‘rtacha tezlik
nuqtaning t0 paytdagi tezligiga shuncha yaqin boMadi.  Shuning uchun nuqtaning t0 
paytdagi oniy tezligi deb [t0; t0 + At] vaqt oraligMdagi o‘rtacha tezlikning At nolga 
intilgandagi limitiga aytiladi
Shunday qilib, 
voniy  =
  Jim^ ^
Yuqoridagi  ikkita  turli  masalam  yechish jarayoni  bitta  natijaga  -  funksiya 
orttirmasining argument orttirmasiga boMgan nisbatining argument orttirmasi nolga 
intilgandagi  limitini hisoblashga keltirildi. MaMum boMishicha, ko‘pgina masalalar 
yuqoridagi  kabi  limitlami  hisoblashni  taqoza qilar ekan.  Shu sababli  buni  alohida 
o‘rganish maqsadga loyiqdir.
124

---

2.1. 
Funksiya hosilasining ta’rifi. 
Aytaylik, 
f(x )
  funksiya (
a,b
) intervalda 
aniqlangan boMsin.  Bu intervalga tegishli 
x0
 nuqta olib,  unga shunday 
Ax
 orttirma 
beraylikki, 
x0 + Ax
 6  (
a,b
) bo‘lsin.  Natijada / ( x
)
 funksiya ham 
x0
 nuqtada 
Ay = 
f(x 0
 + 
Ax) —
  / (x 0) orttirmaga egabo‘ladi.
5.1-ta’rif 
Agar Дх^>0 d a ^   nisbatning limiti  lim  — =  lim  £1*,р+д*ЬЯ*о)
"  
&x-*o
 Дх 
дх-»о 
Дх
mavjud va chekli bo‘Isa, bu limit 
f  (x) funksiyaning
 x0 
nuqtadagi hosilasi
 deyiladi 
va/'O o).  yoki 
y'(x0),
  yoki 
orqali,  ba’zan  esa 
y'\x=xn
 
yoki  — I 
kabi
dx*x=x0
belgilanadi.
Demak,
f U ) =
  lim  
j i
 =   |im
V  / 
Ддг-*0 Д* 
Ax-*0 
Дх
Bunda  x0