T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2
~
  cos
~
2
~ =
 cos
~ 2
---
(x
 ~*o)- 
x
x
o
  da 
-x-i \ 
-* 1,  x —
2
 
2
x0
  -> 0, cos 
esa chegaralangan funksiya. Bundan 
x
 -» 
x0
 da 
sinx — sinx0 ->
 0 
bo‘ladi.  Demak,  lim 
sinx = sinx0
 o‘rinli.
x-*x0
cosx
  funksiyaning  uzluksizligi 
cosx
 = sin 
{x
 + 
ayniyat  va  murakkab 
funksiyaning uzluksizligidan kelib chiqadi.
tgx
  funksiyaning  uzluksizligi 
tgx
 = 
^
 
(x Ф
  ^  
+ 
nk, к E
  z )  
ayniyat  va 
uzluksiz  funksiyalar  ustida arifmetik  amallar haqidagi  teoremadan  kelib  chiqadi. 
Shunga o‘xshash 
ctgx
 funksiyaning uzluksizligini isbotlash mumkin. ♦
117

---

1.  j=arcsinx  arksinus  funksiya 
Ma’lumki, 
sinx
 funksiya
7. Teskari trigonometrik funksiyalar.
segmentda  o'suvchi  va  uzluksiz  bo‘lib,  qiymatlari  to‘plami  [—1; 1]  segmentdan 
iborat  (28,  a)  -rasm).  Teskari  funksiyaning  mavjudligi  va  uzluksizligi  haqidagi 
teoremaga asosan,  [—1; 1] segmentda 
sinx
 funksiyaga teskari funksiya mavjud. Bu 
funksiya 
arcsinx
 orqali belgilanadi.
Bu  funksiyaning  bevosita  teskari  funksiyaning  mavjudligi  va  uzluksizligi 
haqidagi teoremadan kelib chiqadigan xossalarini sanab o‘tamiz.
4.53-teorema. 
arcsinx
 
funksiyaning  aniqlanish  sohasi 
D(arcsin)
  =
[-1; 1], qiymatlari to‘plami 
E(arcsin) —
 
u aniqlanish sohasida o‘suvchi
va uzluksiz.
Arcsinus funksiyalaming grafigi 28, b) -rasmda berilgan.
2 
j=arccosx, arkkosinus funksiya.
cosx
 funksiya [0; 
n]
 segmentda kamayuvchi va uzluksiz bo‘lib, qiymatlar 
to‘plami  [—1; 1] segmentdan iborat (29, a)-rasm). Teskari funksiyaning mavjudligi 
va  uzluksizligi  haqidagi  teoremaga  asosan,  [—1; 1]  segmentda 
cosx
  funksiyaga 
teskari funksiya mavjud.  Bu funksiya 
arccosx
 orqali belgilanadi.
X
28-rasm
118

---

4.54-teorema. 
arccosx
  funksiyaning  aniqlanish  sohasi 
D(arccos)
  = 
[-1; 1], qiymatlari to'plami 
E(arccos
)  =  [0; я], u aniqlanish sohasida kamayuvchi 
va uzluksiz.
(29, b)-rasm).
Xuddi shunga o'xshash, 
arctgx
  va 
arcctgx
 funksiyalami ta’riflash mumkin 
(62-63-masalalar).
Mana shu to'rt xil funksiyalar 
teskari trigonometrikfunksiyalar
 deyiladi. 
Darajali,  ko'rsatkichli,  logarifmik,  trigonometrik  va  teskari  trigonometrik 
funksiyalar 
asosiy elementar funksiyalar
 deyiladi.
Asosiy  elementar  funksiyalar  ustida to'rt  arifmetik  amal  (qo'shish,  ayirish, 
ko'paytirish,  bo'lish) va murakkab funksiya tuzish  chekli  marta bajarilganda hosil 
bo'ladigan funksiyalar 
elementar funksiyalar
 deyiladi.
1.  Quyidagi funksiyalaming har bin elementar funksiyaga misol bo'ladi: 
a) >-x2+sin2jc,
у
29-rasm
c) >’=sin 
дгн-1 )+liut.
2. Elementar 
boMmagan 
funksiyalarga quyidagilar misol bo'ladi:
a) У=М funksiya, “
jc
 ning butun qismi”.
119

---

b) >'= {д:} =лг-[д:] funksiya,