Б. Файзуллаева 1 12-тема. Несобственные интегралы

Теорема 10.(Признак Абеля). Пусть функции 
и заданы на промежутке
и удовлетворяют следующие условия: 
1) функция 
непрерывна на промежутке и сходится интеграл
 

---

Доц. Б. Файзуллаева 
5 
2) функция 
ограничена и имеет непрерывную производную
на промежутке
; 
3) функция 
монотонна на . 
Тогда интеграл
сходится. 
Пример 4. Исследовать на сходимость 
Решение. Функции
удовлетворяют условиям 
теоремы 8: 1). Функция 
непрерывна на промежутке и ее первообразная 
непрерывна и ограничена на этом промежутке; 2). Функция
непрерывна на промежутке и имеет непрерывную производную
на этом промежутке; 3). Функция 
убывает на промежутке ; 4). 
. Следовательно, данный интеграл по признаку Дирихле 
сходится. 
 
Пример 5. Исследовать на сходимость 
Решение.  Функции 
удовлетворяют условиям 
теоремы 9: 1). Функция 
непрерывна на промежутке 
и несобственный 
интеграл этой функции 
сходится на этом интервале (пример 4.). 2). 
Функция 
ограничена на промежутке :
и 
имеет непрерывную производную 
; 3). Так как 
то функция
монотонна возрастающая на промежутке Следовательно, 
данный интеграл сходится по признаку Абеля. 
2. Вычисление несобственных интегралов на бесконечном промежутке 
1
0
. Свойства линейности. Если сходятся интегралы
, то для 
сходится интеграл
и справедливо следующее равенство: 
2
0
. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция
непрерывна на промежутке
а функция
является некоторой первообразной функции на этом промежутке, то 
справедлива формула Ньютона-Лейбница: 

---

Доц. Б. Файзуллаева 
6 
3
0
. Метод замены переменных. Если функция
непрерывна на , а функция 
непрерывна дифференцируемая функция на промежутке , то справедлива 
формула замены переменных: 
здесь
4
0
. Метод интегрирования по частям. Если функции 
и непрерывно-
дифференцируемые функции на промежутке
и существует предел
, то справедлива следующая формула интегрирования по частям: 
здесь