“Matematika” kafedrasi Qo'chqorov Abdurashidbek Farhod o'g'lining

Minor va algebraik to`ldiruvchilar haqida tushuncha 

 

n- tartibli 

ik

a





 

determinant  berilgan  bo`lib,  uning  ixtiyoriy    i-satrini 

va ixtiyoriy  k-ustunini o`chiramiz. Qolgan ifoda 

)

1

(



n

–tartibli determinant-ni tashkil 

etadi  va  a

ik

  elementning  minori  deyiladi. 

ik

a

element  minori 

ik

M   yozuv  bilan 

belgilanadi. 

ik

a

 elementning algebraik to`ldiruvchisi yoki ad`yunkti deb, 

ik

k

i

ik

M

A







)

1

(

kattalikka aytiladi. 

Masalan, uchinchi tartibli 

ik

a





 determinantning 

12

a

 elementi minori 

12

M

 

va algebraik to`ldiruvchisi 

12

A

 mos ravishda: 

12

12

2

1

12

31

23

33

21

33

31

23

21

12

M

M

)

1

(

A

    

,

a

a

a

a

a

a

a

a

M

















 

(1.2.2)

 

Determinantlarning xossalari 

Ixtiyoriy n- tartibli determinant o`zining asosiy xossalaridan  tashqari, qo`shimcha 

ravishda quyidagi xossalarga ham ega. 

 

1.2.1-Xossa: Determinantning ixtiyoriy satri yoki ustuni elementlarining o`z 

algebraik to`ldiruvchilariga ko`paytmalarining yig`indisi uning kattaligiga teng: 

 

16 











n

1

k

ik

ik

  

n)

1,2,...,

(i

  

A

a

(1.2.3) 











n

1

i

ik

ik

 

n)

1,2,...,

(k

  

A

a

(1.2.4) 

(1.2.3)  yig`indi  n-tartibli  determinantni  i-  satr  elementlari  bo`yicha  yoyish 

formulasi deyilsa, (1.2.4) yig`indi k– ustun elementlari bo`yicha yoyish  formulasi 

deyiladi. 

Isbot: 

Uchinchi  tartibli 

ik

a





  determinantni  ikkinchi  ustun  elementlari  bo`yicha 

yoying.Uchinchi  tartibli  determinantni  ikkinchi  ustun  elementlari  bo`yicha  yoyish 

formulasini qo`llaymiz, natijada  



















33

31

13

11

22

33

31

23

21

12

3

1

i

32

32

22

22

12

12

2

i

2

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

A

a

A

a

A

a

A

a















)

(

)

(

31

13

33

11

22

31

23

33

21

12

23

21

13

11

32

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a









)

a

a

a

a

(

a

21

13

23

11

32

 

 

1.2.2-Xossa:  Determinant  biror  satri  (yoki  ustuni)  elementlarining  boshqa 

parallel  satr  (yoki  ustun)  mos  elementlari  algebraik  to`ldiruvchilariga 

ko`paytmalarining yig`indisi nolga teng: 

 

Isbot: 

Uchinchi tartibli determinantni olamiz 

0

)

(

)

(

)

(

21

13

23

11

31

31

13

33

11

21

31

23

33

21

11

23

21

13

11

31

33

31

13

11

21

33

31

23

21

11

32

31

22

21

12

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11







































a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

A

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

1.2.2-xossa isbotlandi. 

(1.2.5)

n)

1,2,...,

j

i,

  

j,

(i

    

0

1

1





















n

k

kj

ki

n

k

jk

ik

A

a

A

a

 

Ushbu xossa determinantlarning 1.2.1- xossasi asosida isbotlanadi.  

 

1.2.3-Xossa:  n-tartibli  aniq  bir  satrlari  (ustunlari)  bir-biridan  farq  qiluvchi, 

 

17 

qolganlari  esa  aynan  bir  xil  bo`lgan 

1



  va 

2



  determinantlar  berilgan  bo`lsin. 

Berilgan 

1



  va 

2



  determinantlarning  yig`indisi  ko`rsatilgan  farqli  satri  (ustuni) 

mos  elementlarining  yig`indisidan  iborat,  umumiy  satrlari    (ustunlari)  esa 

o`zgarmas qoladigan n-tartibli 



 determinantga teng.  

Isbot: 

Uchinchi  ustunlari  farqli,  qolgan  ustunlari  aynan  bir  xil  uchinchi  tartibli 

determinantlar quyidagicha qo`shiladi: 

)

6

.

2

.

1

(

33

33

31

31

23

23

22

21

13

13

12

11

33

31

31

23

22

21

13

12

11

33

31

31

23

22

21

13

12

11

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

b

a

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a











 

Ushbu xossa determinantning 1.1.4-xossasiga asosan isbotlanadi. 

 

1.2.4-Xossa:  Determinant  kattaligi  uning  biror  satri  (ustuni)  elementlariga 

boshqa parallel satr (ustun) mos elementlarini bir xil songa ko`paytirib qo`shganda 

o`zgarmaydi. 

 

Yuqori  tartibli  determinantlarni  hisoblashning  ratsional  usuli  uning  biror 

satri  yoki  ustunida  keltirilgan  xossa  asosida  nollar  yig`ib,  so`ngra  shu  satr  yoki 

ustun bo`yicha yoyib hisoblashdir. Yuqori tartibli determinantni hisoblash masalasi 

ketma-ket ravishda quyi tartibli determinantlarni hisoblash bilan almashinadi. 

 

Masalan: 





























6

1

4

9

3

6

4

3

3

1

6

1

4

1

9

3

6

4

0

0

0

1

4

3

3

1

4

1

3

1

1

3

2

4

2

0

1

1

6

3

2

1

 

153

)

17

(

9

3

2

14

15

9

9

6

14

15

3

6

1

4

9

0

6

14

0

15

3































 

 

1.2.5-Xossa:  n-tartibli  berilgan 

ik

a





 

va 

ik

b





 

determinantlar 

ko`paytmasi  n-tartibli 

ik

c





  determinantga  teng  va  uning  ixtiyoriy  c

iκ

  elementi 

quyidagi formula bo`yicha hisoblanadi: 

 

18 

)

7

.

2

.

1

(

1







n

j

jk

ij

ik

b

a

c

 

ik

c

  element 

1



  determinant  i-satri  elementlarining 

2



 

determinant  k-  ustuni  mos 

elementlariga ko`paytmalarining yig`indisiga teng. 

Masalan: 

)

8

.

2

.

1

(

 

22

22

12

21

21

22

11

21

22

12

12

11

21

12

11

11

22

21

12

11

22

21

12

11

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

b

a

a

a

a











 

Laplas teoremasi 

 

1.2.1-Teorema (Laplas teoremasi) 

Determinant  qiymati  uning  biror  satri  (yoki  ustun)  elementlarini  bu 

elementlarning mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirilgan yig’indisiga teng. 

 

Isbot:  (1.2.2)  determinantning  ikkinchi  ustuni  uchun  teoremaning  tasdig’i 

quyidagicha 

32

32

22

22

12

12

A

a

A

a

A

a









  tenglikning to’g’riligidan iborat, ya`ni 













.

)

1

(

)

1

(

)

1

(

32

32

22

22

12

12

32

2

3

32

22

2

2

22

12

2

1

12

23

21

13

11

32

33

31

13

11

22

33

31

23

21

12

23

11

13

21

32

13

31

33

11

22

33

21

23

31

12

32

23

11

13

22

31

33

12

21

23

12

31

13

32

21

33

22

11

A

a

A

a

A

a

M

a

M

a

M

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a































































 

 

1.2.1-Misol.  

a) 



























1

2

3

2

4

)

1

(

2

1

3

2

1

)

1

(

2

1

1

2

5

)

1

(

4

2

1

1

1

2

5

3

2

3

3

3

2

3

1

 

.

40

32

7

15

)

6

2

(

4

)

3

4

(

)

1

4

(

5





















 

b) 

























2

1

1

2

5

)

1

(

4

1

1

2

)

3

(

)

1

(

4

2

1

1

2

)

1

(

4

2

1

1

1

2

5

3

2

3

1

2

1

1

1

 

.

40

15

21

4

)

1

4

(

5

)

1

8

)(

3

(

)

2

4

(

2























 

 

 

19 

Chiziqli tenglamalar sistemasini determinant (Kramer) usuli bilan yechish. 

Ikki noma`lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi. 

 

Aytaylik  bizga  ushbu  ikki  noma`lumli  chiziqli  tenglamalar  sistemasi 

berilgan bo’lsin:  

)

9

.

2

.

1

(

2

22

21

1

12

11















b

y

a

x

a

b

y

a

x

a

 

 

Sistemaning 

yechimini 

topish 

uchun 

determinantlar 

nazariyasidan 

foydalanamiz. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish deganda, x va y sonlarning 

shunday  to’plamini  topish  demakki,  uni  (1.2.9)  tenglamadagi  ayniyatga  aylansin. 

Bu sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz. Kamida bitta yechimga ega 

bo’lgan  sistema  birgalikdagi  sistema  yoki  aniq  sistema  deb  ataladi.  Cheksiz  ko’p 

yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deb ataladi. Bitta ham 

yechimga  ega  bo’lmagan  sistema  birgalikda  bo’lmagan  sistema  deb  ataladi. 

Sistema  koeffisiyentlaridan  quyidagi  determinantlarni    tuzamiz  va  uni 



  bilan 

belgilaymiz:  

22

21

12

11

a

a

a

a





 

 

Unga  bosh  determinant  deyiladi.  So’ngra  bu  determinantda  mos  ravishda 

birinchi  va  ikkinchi  ustunlarni  ozod  hadlar  bilan  almashtirib, 

x



, 

y



  bilan 

belgilanadigan ushbu yordamchi determinantlarni tuzamiz. 

2

21

1

12

22

2

12

1

b

a

b

a

a

b

a

b

y

x









 

 

Agar 



0 bo’lsa, (1) – sistemaning yechimini aniqlaydigan  

)

10

.

2

.

1

(













y

x

y

x

 

(1.2.10) formulani hosil qilamiz. Olingan bu qoida Kramer qoidasi deyiladi.  

 

Bu yerda uch hol bo’lishi mumkin:  

a)  Agar 



0  bo’lsa,  (1.2.9)  sistema  birgalikda  bo’lib,  birgina  yechimga  ega 

bo’ladi. 

 

20 

b)  Agar 



=0,  lekin 



x

  va 



y

  larning  kamida  bittasi  nolga  teng  bo’lmasa,  u  holda 

(1.2.9) sistema birgalikda emas, ya`ni bitta ham yechimga ega bo’lmaydi.  

v) Agar 

0





 va 

0

,

0









y

x

 bo’lsa, (1.2.9) – sistema aniqmas, ya`ni cheksiz 

ko’p yechimlarga ega bo’ladi.  

 

1.2.2-Misol.  

 















4

2

5

3

y

x

y

x

 sistema yechilsin.  

Yechish.  

7

4

1

5

3

;

14

2

4

1

5

;

7

2

1

1

3























y

x

 

(1.2.10) – formuladan

.

1

7

7

;

2

7

14





















y

x

y

x

 

 

1.2.3-Misol.  















3

2

6

2

3

y

x

y

x

 tenglamalar sistemasi yechilsin.  

Yechish.  

.

3

3

6

2

3

;

1

2

3

1

2

;

0

2

6

1

3





















y

x

 

Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q.