“Matematika” kafedrasi Qo'chqorov Abdurashidbek Farhod o'g'lining

 

Birinchi satrni qolgan satrlardan ayirib quyidagini hosil qilamiz 

)

1

(

)

3

(

)

2

(

)

1

(

1

0

0

0

.

.

.

.

.

0

2

0

0

0

0

1

0

3

2

1





























n

x

x

x

x

n

x

x

x

n











 

 

2.1.1-Misol. 

x

n

x

x









1

1

1

1

.

.

.

.

.

1

3

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1









 

Birinchi satrni qoldirib qolgan satrlarni birinchi satrdan ayiramiz va quyidagi kelib 

chiqadi  

n

n

x

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

)

1

(

)

(

)

2

(

)

1

(

)

(

)

2

(

)

1

(

0

0

0

.

.

.

.

.

0

2

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1





















































 

 

2.1.12-Misol 

 

35 

x

a

a

a

a

x

a

a

a

a

x

a

a

a

a

a

n

n

n









2

1

0

1

0

2

0

2

1

0

.

.

.

.

.

 

Birinchi  satrni  qoldirib  qolgan  satrlardan  birinchi  satrni  ayirib  quyidagi  ifodani 

olamiz 

n

n

a

x

a

x

a

x

a

a

a

a















0

0

0

.

.

.

.

.

0

0

0

0

0

0

2

1

2

1

0

 

Bu esa uchburchak ko'rinishiga keldi va bu quyidagi ifodaga teng 

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

0

n

a

x

a

x

a

x

a

x

a





















 

2.2 Chiziqli ko’paytuvchilarga ajratish usuli. 

 

Determinant  bir  yoki  bir  nechta  harflardan  tashkil  topgan  harflardan  tashkil 

topgan  ko’phad  ko’rinishida  berilsa,  almashtirish  natijasida  u  chiziqli 

ko’paytuvchilarga ularning ko’paytmasiga ham bo’linishi aniqlanadi. 

 

Determinantning  ayrim  hadlarini  chiziqli  ko’paytuvchining  ko’paytma 

hadlari bilan solishtirsak, shu ko’paytuvchi determinantning ko’paytmadan xususiy 

holati topiladi va shu orqali determinantning ifodasi topiladi. 

 

2.2.1-Misol. Determinantni hisoblang: 

0

0

0

0

x

y

z

x

z

y

y

z

x

z

y

x

. 

 

Agar  birinichi  ustunga  qolgan  barcha  ustunlarga  qolgan  barcha  ustunlarni 

qo’shsak  determinant 

z

y

x





  ga  bo’linishi  aniqlanadi;  agar  birinchi  ustunga 

 

36 

ikkinchi  ustunni  qo’shib  uchinchi  va  to’rtinchi  ustunlar  ayirilsa,  unda 

x

z

y





 

ko’paytuvchi kelib chiqadi; agar birinchi ustunga uchinchi ustunni qo’shib ikkinchi 

va  to’rtinchi  ustular  ayirilsa,  unda 

z

y

x





  ko’paytuvchi  kelib  chiqadi;  va 

nihoyat  birinchi  ustunga  to’rtinchi  ustunni  qo’shib,  ikkinchi  va  uchinchi  ustunlar 

ayrilsa,  unda 

z

y

x





  ko’paytuvchi  kelib  chiqadi. 

z

y

x

,

,

  lar  erkli  o’zgaruvchi 

bo’lsa unda tortta ko’paytmalar o’zaro juft sodda degan xulosaga kelamiz. Bunda 

determinant 

ularning 

ko’paytmasiga 

bo’linadi 

)

)(

)(

)(

(

z

y

x

z

y

x

x

z

y

z

y

x

















. 

 

Bu ko’paytuvchilarning tartibida 

4

z

  hadi  mavjud  bo’lib,  uning  koeffitsienti 

1



 ga teng, determinantning ozi xuddi shu hdga ega bo’lib, 

4

z

 ning koeffitsienti 1 

ga teng. 

 

Demak 

2

2

2

2

2

2

4

4

4

2

2

2

)

)(

)(

)(

(

z

y

z

x

y

x

z

y

x

z

y

x

y

z

x

x

z

y

z

y

x

D

































 

2.2.2-Misol. n-tartibli Vandermond determinantni chiziqli ko’paytuvchilarga 

ajratish usuli bilan hisoblaymiz: 

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

.

.

.

.

.

1

1









n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

D







. 

n

D

  ko’phadni 

1

1



n

x

x 

  ga  bog’liq  bo’lgan  koeffitsientli  erkli 

n

x

  ni  ko’rib 

chiqsak, 

1

x

x

n



, 

2

x

x

n



,…. 

1





n

n

x

x

  da  nolda  aylanishini  ko’ramiz,  shuning 

uchun 

1

x

x

n



, 

2

x

x

n



,…. 

1





n

n

x

x

 g abolish mumkin. 

 

Bu  barcha  ko’paytuvchilar  o’zaro  sodda  (chunki 

n

x

x

x



,

,

2

1

  algebraik 

erkli). 

Demak, 

n

D

 ularning ko’paytmasiga bo’linadi, ya’ni: 

)

(

)

)(

(

)

,

,

,

(

1

2

1

2

1













n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

q

D





. 

 

37 

n

D

  ni  so’ngi  qator  bo’yicha  yoyib,  u 

n

x

  ga  nisbatan 

1



n

  darajali  ko’phad 

ekanligi  ma’lum  bo’ldi.  Shu  bilan  birga 

1



n

n

x

  koeffitsient 

1

2

1

,

,



n

x

x

x



 

nomalumlardan 

1



n

D

 Vandermond determinantiga teng; chunki oxirgi tenglikning 

o’ng  tarafidagi  qavslar  ko’paytmasi  bir  xil  koeffitsientli 

1



n

n

x

  ni  saqlaydi  va 

)

,

,

,

(

2

1

n

x

x

x

q



  ko’phad 

n

x

  ni  saqlmaydi.  Ikkala  tomonda 

n

x

  ni  saqlamaydi. 

Ikkala tomonda 

1



n

n

x

 koeffitsientlarni tenglashtirib, 

)

,

,

,

(

1

2

1

1







n

n

x

x

x

q

D



 ni 

keltirib  chiqaramiz,  bundan 

)

(

)

)(

(

1

2

1

1













n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

D

D



  da 

n

  ni 

1



n

 ga almashtirib bu tenglamani qo’llaganda: 

)

(

)

)(

(

2

1

2

1

2

1

















n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

D

D



 ni hosil qilamiz. 

 

1



n

D

  ifodani  yuqoridagi 

n

D

  ifoda  uchun  qo’llaymiz,  yuqoridagi  fikrni 

qaytarib 

1

2

x

x



  ko’paytuvchiga  ajratamiz,  shundan  keyin 

1

1



D

  birinchi  tartibli 

determinantga kelamiz. 

Shunday 

qilib 





















j

i

j

i

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

D







)

(

)

(

)

)(

(

)

)(

(

1

2

1

2

3

1

2

. 

 

2.2.3-Misol. 

x

a

b

c

a

x

c

b

b

c

x

a

c

b

a

x









 

Birinchi ustunga qolgan ustunlarni qo'shamiz 

x

a

b

c

b

a

x

a

x

c

c

b

a

x

b

c

x

c

b

a

x

c

b

a

c

b

a

x







































 

 

38 

Birinchi satrni qolgan satrlardan ayirib quyidagini hosil qilamiz 

c

x

b

a

a

b

c

a

b

x

a

c

c

b

b

c

a

x

c

b

a

c

b

a

x

































0

0

0

 

Birinchi ustun bo’yicha yoyamiz 

c

x

b

a

a

b

c

a

b

x

a

c

c

b

b

c

a

x

c

b

a

x



































)

(

 

birinchi ustunga qolgan ustunlarni qo’shamiz. 

c

x

b

a

c

x

a

b

c

a

c

a

b

x

a

c

c

b

a

x

c

b

a

x











































0

)

(

 

Uchinchi satrdan uchinchi satrni ayiramiz 

a

x

c

b

c

a

c

a

b

x

a

c

c

b

a

x

c

b

a

x



































0

0

)

(

 

Ikkinchi ustun bo’yicha yoyamiz 

a

x

c

b

c

b

a

x

c

a

b

x

c

b

a

x

































)

(

)

(

 

bu yerda birinchi ustunga ikkinchi ustunni qo’shamiz 

a

x

c

b

a

x

c

b

c

b

a

x

c

a

b

x

c

b

a

x











































)

(

)

(

 

Ikkinchi satrdan birinchi satrni ayirib ikkinchi satrga yozamiz 

 

39 

c

b

a

x

c

b

c

b

a

x

c

a

b

x

c

b

a

x







































0

)

(

)

(

 

Birinchi  ustun  bo’yicha  yoyamiz  va  determinantimiz  chiziqli  ko’paytuvchilarga 

ajraladi 

)

(

)

(

)

(

)

(

c

b

a

x

c

b

a

x

c

b

a

x

c

b

a

x































 

 

2.2.4-Misol. 

2

2

9

1

3

2

5

1

3

2

3

2

2

1

3

2

1

1

x

x





 

Ikkinchi satrdan birinchi satrni ayirib quyidagini hosil qilamiz 

2

2

9

1

3

2

5

1

3

2

0

0

1

0

3

2

1

1

x

x





 

Ikkinchi satr bo’yicha yoyamiz 

2

2

9

1

2

5

1

2

3

2

1

)

1

(

x

x







 

Uchichi satrdan ikkinchi satrni ayirib ushbuni olamiz 

2

2

4

0

0

5

1

2

3

2

1

)

1

(

x

x







 

Determinantimiz chiziqli ko’paytuvchilarga ajlaldi 

)

4

(

)

1

(

3

2

2

x

x











 

 

40