Вступление раздел некоторые применения производной

 

---

1.2 Применение дифференциального исчисления к доказательству 
неравенств 
 
Доказательство неравенств. В настоящем пункте покажем, как используются 
при доказательстве неравенств такие свойства функций, как строгое 
возрастание, строгое убывание, выпуклость вверх, выпуклость вниз. 
Пример:
 Докажем, что для всех 
справедливо неравенство 
(6) 
Решение
. Составим вспомогательную функцию 
и 
найдем ее производную: 
Так как при 
выполняется неравенств
, причем равенство 
возможно лишь в случае
, то функция строго возрастает на луче 
. В частности, выполняется неравенство 
. Но
Значит, 
, т.е 
Таким образом, 
, что и требовалось доказать. 
Пример:
Докажем, что при 
выполняется неравенство 
(7) 
Решение:
Составим вспомогательную функцию
И найдем ее производную: 

---

Из неравенства (6) следует, что 
, значит, функция 
возрастает 
на луче 
. Но тогда из неравенства 
вытекает неравенство
, а так как 
, то получаем 
, т.е. 
И, следовательно, 
Что и требовалось доказать. 
Неравенства (6) и (7) является частными случаями неравенства 
(8) 
Справедливого при 
для любого натурального числа . 
Для доказательства неравенства (8) воспользуемся методом математической 
индукции. При
неравенство справедливо, так как оно обращается в 
этом случае в доказанное выше неравенство (6). Предложим, что неравенство 
верно при
т.е. что 
(9) 
И докажем, что тогда верно и при 
, т.е. что оно 
(10) 
Иными словами, докажем что из неравенства (9) следует неравенство (10). 
Для доказательства рассмотрим функцию 
Производная этой функции имеет вид: 

---

Из неравенства (9) следует, что 
.Значит, функция 
возрастает 
при 
, и, следовательно, при 
имеем: 
Тем самым доказано выполнение неравенства (10). Отсюда по принципу 
математической индукции заключаем, что неравенство(8) верно для любого 
натурального .