Вступление раздел некоторые применения производной

Пример:
Докажем, что при 
выполняется неравенство 
 
Решение:
Составим вспомогательную функцию 
. Ее 
производная имеет вид:
Поэтому при 
имеем 
и функция 
убывает на 
луче
. Значит, при
имеем 
. Но 
и, 
следовательно, 
, т.е. 
при
. Это и означает, 
что
, если
, что и требовалось доказать. 
Пользуясь методом математической индукции, можно доказать, что при 
для любого натурального справедливо неравенство 
(11) 
Неравенство, доказанное в примере, является частным случаем неравенства 
(11) при 
. 
Доказанное выше неравенство (8) дает оценку для по недостатку, а 
неравенство (11) дает оценку для по избытку. Отклонение этих оценок 
друг от друга равно 
. Можно доказать, что при 
это 
выражение стремится к нулю при любом положительном значении . 
Поэтому, чем больше , тем сильнее график многочлена 
, где 

---

 
“ прилипает “ к графику функции 
(рис.2) 
. Значит, 
 
 
Рис.2 
 
(12)
 
Таким образом, чтобы найти приближенное значение функции , нужно 
найти значение
при достаточно большом . Но вычисление 
сводится к операциям сложения, умножения и деления, а эти операции может 
выполнять электронно-вычислительная машина. Поэтому с помощью 
равенства (12) можно осуществит вычисление на ЭВМ. 

---

Вычислим для примера значение с точностью 
Воспользовавшись 
равенством (12), получим: 
Как мы отмечали выше, погрешность не будет превышать 
, т.е. 
поскольку 
, погрешность не будет превышать 
. Для достижения 
точности 
достаточно взять 
. В самом деле, так как 
, то
Итак, с точностью 
имеем: 
.