Вступление раздел некоторые применения производной

 
 

---

РАЗДЕЛ 1. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 
1.1. Применение производной при доказательстве тождеств и 
неравенств
Теорема 1
. Пусть на отрезке 
задана функция 
. Для того, 
чтобы эта функция была постоянной на этом отрезке, необходимо и 
достаточно, чтобы во всех точках отрезка 
существовала 
производная 
, и чтобы она всюду на отрезке 
была равна 
нулю. 
Используя эту теорему, можно доказать тождества вида 
, на 
некотором промежутке . Для чего достаточно показать, что на этом 
промежутке 
константа) и для некоторого 
из этого 
промежутка 
. 
Рассмотрим следующие примеры. 
Пример 
. Доказать тождество 
, 
(1)
Эта функция дифференцируема в промежутке 
. Найдем 
и покажем, что 
в промежутке 
. 
Значит, по теореме 1 
константа). 
Для нахождения вычислим значение функции 
в точке 
. Имеем 
Отсюда следует , что 

---

Значит
для всех
. 
Тождество 
(1)
доказано. 
Пример 
. Доказать тождество 
,
(2) 
Рассмотрим функцию 
Эта функция определена и дифференцируема для всех 
Находим
если
. 
Отсюда следует, что 
константа). Для нахождения , 
находим
Этим тождество 
(2)
доказано. 

---

Такой способ доказательства тождеств носит некоторый 
самостоятельный характер, который можно использовать при 
доказательстве других тождеств. 
Теорема 2
. Пусть функция
определена и дифференцируема на 
отрезке 
. Если на этом отрезке выполняется условие 
, то на этом отрезке функция 
возрастающая 
(убывающая) и для любого из отрезка 
справедливы 
соотношения: