228
ного) сечения.
Первая задача, второй случай — нахождение оптимального
распределения внутренних
усилий статически неопределимой системы с известным распределением материала.
Целевая функция —внешняя нагрузка:
P
Z
(2.10)
где
kp
P
, здесь
p
— нагрузка известной схемы единичной интенсивности,
k
—
коэффициент пропорциональности.
Ограничения, как и для первого случая первой задачи, - условия несущей способности и
устойчивости элементов. В отличие от первого случая почти все они линейны, так как при
известном распределении материала (известны все размеры поперечных сечений)
коэффициенты ср,
ip
6
,р — величины постоянные, не зависящие от усилий. Единственной
переменной
величиной, зависящей от искомого распределения внутренних усилий, является
коэффициент ф
ви
. Поэтому здесь для полной линеаризации достаточно только применить
формулу Ясинского при составлении ограничений по внецентренно- сжатым стержням
системы.
Вторая задача — поиск оптимальных параметров геометрической схемы системы с
начальными усилиями при известном ее типе.
Целевая функция,
как и в первой задаче, может быть представлена в виде стоимости,
массы или объема материала (2.4), (2.5), (2.6), а ограничения (2.7)...(2.14)- в виде
соответствующих условий несущей способности ее элементов. Однако в отличие от первой
задачи, где геометрическая схема известна, линеаризовать ограничения и целевую функцию
трудно, так как неизвестные задачи — площади
поперечных сечений элементов, усилия в
лишних связях, и, наконец, геометрические параметры системы — связаны достаточно
сложными нелинейными зависимостями. Учитывая это, математическая модель строится
иначе. Задача расчленяется на две части: первую, в которой определяются внутренние усилия,
и вторую — поиск оптимальных геометрических параметров.
Первая решается на основе замены критерия оптимальности критерием рациональности,
в качестве которого для систем,
содержащих жесткие элементы, работающие на сжатие или
растяжение с изгибом, принимается условие равномоментности (при постоянной осевой силе
или ее отсутствии) или условие равнонапряженности (при переменной осевой силе) опасных
сечений. Такая замена позволяет для решения первой части задачи составить математическую
модель в виде системы уравнений, решая которую удается
получить функциональные
зависимости между геометрическими размерами и параметрами состояния системы —
внутренними усилиями в ее элементах: осевыми силами и изгибающими моментами.
Затем можно перейти ко
второй части задачи — поиску оптимальных параметров
геометрической схемы. Используя полученное на первом этапе решение, строится
аналитическое
выражение стоимости, массы или объема материала системы. Для получения
этого выражения пользуются известными зависимостями между действующими усилиями и
площадями поперечных сечений элементов. При этом для сжатых элементов можно применять
приближенную зависимость между коэффициентом продольного изгиба υи гибкостью
стержняλ:
2
1
/
1
(2.1)
где α — постоянная величина, зависящая от класса прочности материала (для стали класса
С38/23 α = 0,00007). Для сжато-изогнутых стержней используется зависимость Ясинского.
Полученное выражение
исследуется на экстремум, для чего первая производная по
искомому параметру приравнивается нулю. В результате удается получить выражение для
определения оптимального параметра. Чаще всего это выражение является полиномом
достаточно высокой степени.
Do'stlaringiz bilan baham: