|
109
“Young Scientist” . # 4 (138) . January 2017
Mathematics
Свойства коммутаторов на *-подалгебрах
в алгебрах локально измеримых операторов
Жураев Илхом Мухитдинович, кандидат физико-математических наук, доцент;
Мустафаева Зарина Эркиновна, студент
Бухарский государственный университет (Узбекистан)
В
работе рассматриваются свойства коммутаторов и тройные лиевые дифференцирований, действующих на иде-
альных *-подалгебрах
A
в алгебрах LS (M) локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Ней-
мана M. Даются также достаточные условия на тип алгебры фон Неймана M, обеспечивающие ассоциативность всех
тройных лиевых дифференцирований на
A
.
Пусть
A
произвольная ассоциативная алгебра над полем комплексных чисел. Линейный оператор
:
D A
A
→
называется
ассоциативным дифференцированием на алгебре
A
, если
( )
( )
( )
D xy
D x y xD y
=
+
для любых
,
x y A
∈
. Если a ∈ A, то отображение D
a
: A → A, определенное равенством D
a
(x) = ax — xa = [a, x], x ∈ A, является
дифференцированием на A. Дифференцирования вида D
a
называются внутренними дифференцированиями.
Говорят, что линейный оператор L: A → A есть лиевое дифференцирование
на алгебре
A
, если L ( [x, y]) = [L (x),
y] + [x, L (y)] для всех x, y ∈ A. Каждое ассоциативное дифференцирование D: A → A, очевидно, является лиевым диф-
ференцированием.
Примером лиевого неассоциативного дифференцирования служит центрозначный след E:
A
→ Z (
A
), т. е. такое ли-
нейное отображение E из алгебры
A
со значениями в центре Z (
A
)
алгебры
A
, для которого E (xy) = E (yx) при всех
x, y ∈
A
.
Линейный оператор
:
L A
A
→
называется тройной лиево дифференцированием на алгебре
A
,если
[[ , ], ] [[ ( ), ], ] [[ , ( )], ] [[ , ], ( )]], , ,
L x y z
L x y z
x L y z
x y L z
x y z A
=
+
+
∀
∈
.
Хорошо известно, что любое тройной лиево дифференцирование L на
алгебре фон Неймана
A
имеет стандартной
формы, т. е. имеет вид
L D E
= +
, где
D
-ассоциативное дифференцирование на
A
и
E
-центрозначный след на
A
.
В случае, когда A является алгеброй фон Неймана, стандартная форма тройного лиевого дифференцирования
:
L A
A
→
имеет вид L =
D
a
+ E для некоторого
a ∈
A. Развитие теории алгебр S (M) измеримых операторов и ал-
гебр LS (M) локально измеримых операторов, присоединненных к алгебрам фон Неймана или AW* алгебрам M, дало
возможность строить и изучать новые содержательные примеры *-алгебр неограниченных операторов. Одной из инте-
ресных задач здесь стала проблема описания всех дифференцирований, действующих в S (M). В случае коммутативных
алгебр фон Неймана M верно равенство S (M) = LS (M) и что любое дифференцирование в S (M) является внутренним,
т. е. нулевым, тогда и только тогда, когда M — атомическая алгебра. Для коммутативных AW* — алгебр M критерием
существования ненулевых дифференцирований в S (M) служит отсутствие свойства
σ
-дистрибутивности у булевой ал-
гебры всех проекторов из M. Для алгебр фон Неймана M типа I, все дифференцирования на алгебрах LS (M) и
S (M)
были описаны в [1].
Замкнутый линейный оператор
x
, присоединенный к
M
, называется
измеримым относительно алгебры
фон Неймана
M
, если
( )
D x
— сильно плотно в
H
. Множество
( )
S M
всех операторов, измеримых отно-
сительно
M
, является * — алгеброй с единицей
1
над полем
C
относительно операций сильного сложения, силь-
ного умножения и перехода к сопряженному оператору, (умножение на скаляры определяется обычным образом, при
этом, считается, что
0 x
⋅
0
=
. Замкнутый линейный оператор
x
, присоединенный к
M
, называется
локально из-
меримым относительно алгебры фон Неймана
M
, если существует такая последовательность
1
{ }
n n
z
∞
=
цен-
тральных проекторов из
M
, что
n
z ↑ 1
и
( )
n
xz
S M
∈
для всех
n N
∈
. Множество
( )
LS M
всех локально
измеримых относительно
M
операторов также образует *-алгебру с единицей
1 относительно операций сильного сло-
жения, сильного умножения и перехода к сопряженному оператору, при этом,
( )
S M
и
M
есть *-подалгебры в
( )
LS M
. Центр
( ( ))
Z LS M
в * — алгебре
( )
LS M
совпадает с *-алгеброй
( ( ))
S Z M
, и в случае когда
M
— фактор, либо
M
— конечная алгебры фон Неймана, всегда верно равенство
( )
( )
LS M
S M
=
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
