P habibullaev

4-§.  Past  temperaturali  Fermi-gaz  temiodinamikasi
Past temperaturadagi fermi-gazning ichki energiyasi  U v a zarralarning 
soni  N  ni  aniqlaylik.  Buning  uchun  (11)  dagi  /  ning  taqribiy  ifodasi
I   =
I
s'de
J L
n -
[1  + -— — -  (—
) 2]
+  1 
n +  Г  
6 
u.
0
dan foydalanamiz,  bunda  (rrkT /fi„)~  gacha aniqlik bilan topiladi.
, 
N  
2  :
J   = —  -=-(.1- 
-1 
a V  
3
(17)
\  kT  1
1 
-
8 ч  H
Agar  T=0К  bo'isa,  yana  awalgi  natijani  olamiz
,3 
Л Г ,,,
Ц  =  Ш,  =  v
 
>'
2  a V
(18)  va  (19)  dan
Я / 2  
~  /  1  r  1 
1 
,HkT
 ,-i
Но 
= ц ' ‘ И  +  - ( —
)4  
8  Ц„
Kichik hadda  /л  ni  Po  bilan  almashtirildi.  (20)  dan
(18)
(19)
(20)

---

1  nkT  ,  ^
Ц  = Ц 0[1 -  г ( —
)  Y   ~  Ц, 
8  ц 0
i   _  
v
с  У
1_
12
/3/2  ni  yozaylik:
U
, +
 ^ гЛ
8 I  
Ц„ 
J
3,‘ 
a V  
5 
(18)  va  (23)  ifodalardan  ushbu  nisbatni  olamiz:
(22)
(23)
V
и   _   i j  
8 1  И  У
N  
1, 
5
Bundan
1 +
1
 +   -
U  = - \ iN ----
5 
1 + I  
8
n 2 f k T V
8
nkT
Ifodani  olamiz.  (21)  dan  foydalanib,  quyidagi  taqribiy  ifodani  olamiz:
5 
f  nkT
1 
-
1 +
1 +
V l
3 V  Ио
1 +
5 
(nkT
Z7 ^ rV
Ч  Ио 
J  
\2lt
V
(24)
- j  ЛИ.
12
1
 +
1 Г nfcr
2 U „
i + A f —
12 U a
V
2
Bundan elektron gazning  issiqlik sig‘imi  J   ni  aniqlaymiz:
67

---

bunda
S = a T
(25)
a  =
n 2N k 2
2ц(1
temperaturaga bog‘liq bo'lmagan  doimiy  kattalik.
Elektron issiqlik sig'im С juda past temperaturada chiziqli qonun  C ~ a T  
ga  bo‘ysunadi.  Bu  esa  tajribadan  olingan  natijaga  mos  keladi.  Juda  past 
temperaturada kristall qattiq jismning to'la issiqlik sig'imi
C= aT+ AV
ifoda bilan aniqlanadi; bunda 
A
  =  1 
Irt^kN
 / 5
T '0
. Bu temperaturada elektron 
issiqlik sig'imi  S   fonon  issiqlik sig'imdan  ustunlik qiladi  (3.4-rasm).
Past temperaturada elektron gazning bosimi va  entropiyasini  aniqlaylik.
n 
2 и 
2 N  
P  = —  = — ц, 
3 
5V
1 +
12
r nkT 4
v  Ho 
J
(26)
Bizga malum
Bulardan  foydaianib,  bosim  uchun  (past  temperaturada)

---

ifodani olamiz; bunda bosim P  temperaturaning kvadratiga proporsional. 
Solishtirma entropiyani aniqlaymiz: entropiya S  ni
T
s 
= 
j*(Cv 
/ T )d T
ifodadan  aniqlash  mumkin.
s-
n 2Nk
kT
(28)
Erkin energiya F ni  F —U - ST ifoda orqali aniqlaymiz:
F   =  - N n , 1
1
12 v  Но  у
Shunday  qilib,  asosiy  termodinamik  param etrlarni  absolut  nol 
temperaturadagi  Ferm i  sathi  energiyasi  ц 0  orqali  ifodaladik.  Qolgan 
termodinamik  parametrlarni  esa  shu  aniqlangan  asosiy  termodinamik 
parametrlar  orqali  ifodalash  mumkin.  Jumladan
f d F 4
p  =
5V
Yoki  ideal gaz formulasi  P V   =  — U   dagi yana  (26)
P   =
2N[x0
1 +
12
nkT
У.  Ho
v
ifoda olinadi.
Oxirida kvant mexanika va kvant statistika yaratilganga qadar issiqlik 
sig‘imga tegishli klassik statistikadagi ziddiyatga va uning kvant statistikada 
hal etilishiga qisqacha to‘xtalaylik.
Birinchidan: metallarda elektr o‘tkazuvchanlik, issiqlik o'tkazuvchanlikni 
erkin  elektronlar  modelidan  foydalanib,  (massani  effektiv  massa  bilan

---

alm ashiirib)  tusbuntirish  mumkin.  Klassik  statistikadagi  bu  fikrga 
(modelga) asosan metallarning issiqlik sig'imi izolatorlarnikidan taxminan 
2  maria ortiq  bo'lishi  kerak.  Chunki  har bir zarraga  (elektronga)  klassik 
statistik  fizikaga  asosan,  ЪкТ/ l   energiya  to‘g‘ri  keladi.  M a ’lumki, 
dielektrlarda  (izolatorlarda)  erkin  eietronlar  yo'q  deb  qaraladi.  Ammo 
tajriba  ko‘rsatadiki,  metailar  va  izolatorlarning  issiqlik  sig'imi  yuqori 
icmperaturada taxminan bir xil v;<  alar  Dyu!ong-Pti qonuniga bo‘ysunadi. 
Bu  ziddiya?  kvant statist ikasida osonlikcha hal  efiladi.
Ko'pgina metailarda  Feirni sathi energiyasi  ц.,,2 e К  bilan  lOeForasida 
bo'ladi.  Bu holda agar temperatura  Г=300 A'bo'isa.
^ 
тг Л/. j  kT 
2
i’  /
ifodadagi  { IT  /f.i.,)  uchun
kT 
?,Qi)k 
3k
—
 
^ ----- .=---- -  0,01
p 
2-10 
200
*JL  *  
^  0,003к
ц 
10 •
  104
qjymatlar olinadi.  л 2 / 2  ~  5  bo'lganda.  bu qiymatlardan elektron  issiqlik 
sig'imi umumiy issiqlik sig'imiga 0,075 va 0,015 hissa yoki  1,5%—7,5% hissa 
qo'shishi kelib chiqadi. Amalda elektronlar kristall  issiqlik sig'imga 2 % —8% 
hissa qo'shadilar.
5-§.  Kristallardagi  energetik  zonalar
I. 
Kir ish.  Qattiq jismlardagi elektronlarning hoiatlari erkin atomlardagi 
elektronlar holatlariga ko'p jihatdan o'xshaydi, chunki kristalldagi qo'shni 
atomlar elektroniarining o'zaro ta’siri atom tuzilishini,  strukturasini to'la 
buzib  yubora  olmaydi.  Ammo  shu  bilan  birga  bu  elektronlarning  o'zaro 
ta’siri tufayli  erkin  atomlardagi  energiya sathlari  shunchalik kuchli ta’sir 
oladi  va  g'alayonlikka  uchraydiki,  natijada  kristallarda  bir  qator  uning 
o'ziga xos yangi hodisa va effektlar paydo bo'ladi.  Bu  yangi hodisalardan 
eng muhimi —  erkin atomlardagi valent elektronlar energiya sathlarining 
deyarli  uzluksiz  sathlarga  —  energetik  zonalarga  yoyilib  ketishidir.  Bu 
energetik zonalar esa qattiq jismning elektr,  magnit va optik xossalarining 
sodir bo'lishiga sababchilik qiladilar.
70

---

2. 
Energetik zonalar.  Energiya zonalarining paydo bo‘lishini quyidagicha 
tushuntirish  mumkin.  Faraz  qilaylik,  N  ta  erkin  atomlar  mavjud  bo‘lsin. 
Har bir atomning  biror energiya  sathi,  masalan,  i -  sathi я  karrali  aynish 
darajasiga ega bo'lsin. Ammo atomlar bir-biri bilan o‘zaro ta’sirda bo‘lmagani 
uchun  jVta zarralardan  iborat  bo‘lgan  bu sistemada  i —  energetik sath  N  
karrali  aynish  darajasiga  ega  bo‘ladi.  Endi  atomlar bir-biriga yaqinlashib, 
kristall  panjara  hosil  qilsin.  Bu  holda  atomlaming  o'zaro  ta’sirlari  tufayli 
erkin atomning N   karrali  holatlari o'zgaradi.  Boshqacha aytganda,  o'zaro 
ta’sir  bo'lmagan  holdagi  Ng  ekvivalent  (simmetrik)  holatlar  o'zaro  ta’sir 
tufayli buziladi va ular bir- biriga juda yaqin bo'lgani uchun energetik sathlar 
dastasi deyarli uzluksiz energiya zonasini hosil qi!adi.  Bu o'zaro ta’sir tufayli 
birinchidan, energiya sathlarining pastga siljishi yuz beradi, chunki atomlar 
orasida bog'lanish  hosil  bo'ladi  (molekuladagi  atomlar  bog'lanishi  kabi);
ikkinchidan, bu o'zaro ta’sirga, tabiiyki, atomdagi yadrodan uzoqdagi 
valentli  elektronlar  duch  keladilar  (ta’sirga  chalinadilar),  chunki  ular 
qo'shni  atomlarga eng yaqin joylashgan  bo'ladilar;
uchinchidan,  atomlar  orasidagi  muvozanat  holatiga  to'g'ri  kelgan 
masofa  energiyaning  minimum  qiymatiga  mos  kelishi  lozim.  Yanada 
atomlarning  yaqinlashuvida  ular  orasidagi  itarish  kuchi  tufayli  energiya 
ortib  boradi  (3.5-rasm).
Atomlar  orasidagi 
masofa
------------------------ e--------------------- >
i
i
I Г  
■
1111
 n
Г   • 
-  muvozanatli  knstalidad
ГГШ
1
 
c
N 
i
 
atomlar  orasidagi  masofa
Energiya
3.5-rasm.

---

«:»‘ilin-..h!cl;iii,  atomlar  erkin  bo'lgandagi  energiya  sathlari  N   ular 
vaqmlusbib  o'zaro  ta'sirJa  bo'iganda  deformatsiyalanib,  o‘zgarsalar-da, 
ularning  soni  Л’„  o'zgarrnaydi.  Boshqacha  aytganda,  s —  zonada  har bir 
io ’g 'ii  kViuvchi  I  *a  eleklron,  p  ~  zonada  har bir atomga to'gri 
k>..iisvcin  5 ta  elektron bo'ia olishi  muinkin,  ya’m  S —  zonada 2N ta,  P  — 
/Oi’.ada  ft.Vt,;  bir-biriga juda  yaqin joylashgan euergetik sathlar (o'rinlar) 
L4;4:-di,  ya’ni  zonalarning  yuqori  chegarasi  mavjud  bo'ladi. 
Мак:Шп,  У  hoiasda  bit t a dan  elektron  bo'bin  -   atomlardagi  valentli 
tk-yrjnk:!  N   ;a.  S   zouadagi  holatlar  (encrgelik  sathlar)  soni  2N   ta. 
! \“ пОк,  -'п-гп/ао,  T~0K da shu S  zonaning yanni  Pauli prinsipiga asosan, 
hi kit)  io ‘Циг  (urti  ralemif  zona  dexiiadi),  qolgan  yanni  bo ‘ah 
(um  о 'ihixiavchauUk zumsi deyiladi}  zcriadan  iboratdir (3.6-rasm).  Agar
1 
;»ia  ^’.ektroS  — zona elektronlar bilan
;г/>л»,«и bo'Sd'.  Ammo  — zona  P - zona bir-birlni o'zaro yopgan bo'lsa, 
Ivu-i  !. 
ho&ii qihdi.  Ba’zi qattiq jismk.rda (yarim o'tkazgich va
dic-lci.[nkiarda)  vale ml;  zona  bilan  o'lkazuvehanlik  zonasi  orasida 
laqiqungari  Л  energiya  kengiikka  ega  bo'lgan  zona  mavjud  bo'iadi  (bu 
hauc’a  keyip.ruq  to'xtalamiz).
Ан.;а  qatiiq jism  temperaturasi  7’>0  bo'lsa.  yuqorida  aytganimizday, 
v-deuf fi  zonaning  Ferm i  satht  airondaci  (yaqinidagi)  elektronlar
------------------- ------------------------ ------------------------------------------------------------------------
r - -
^ I H i   V
f
  i
....................................................................................................................
^  s
'.s.
r
1
1 1
E   sz
„С5  N
£   s
■ i _____________
5  b - r a s m .
7  2

---

o ‘tkazuvchanlik  zonasiga  issiqlik  fluktuatsiyalar  tufayli  o‘tadi!ar.  Bu 
elektronlar,  endi  har  bir  atomga  tegishli  bo‘lmasdan  kristalldagi  barcha 
atomlarga tegishli  deb  qaralishi mumkin.  Bu fikrni shunday tushuntirish 
mumkin:  erkin  atomlardagi  valentli  elektroniarning  to‘lqin  funksiyaiari, 
atomlar  yaqinlashib,  kristall  hosil  qilganda,  bir-birini  qisman  yopib 
ketishadi.  Shu  sababli  bir atomga tegishli  elektron,  ikkinchisiga  ma’lum 
ehtimol  bilan  o'tishi  mumkin.  Shunday  qilib,  elektron  butun  kristall 
bo'yicha migratsiya qilib yurishi mumkin.
3.7-rasmda  S   holat  funksiyalarini  bir-biri  bilan  qisman  umumiy- 
lashishi, yopishi ko‘rsatilgan.  0 ‘tkazuvchanlik zonasidagi bunday elektron 
atomlarga  ozmi-ko‘pmi  bog‘liq  bo‘lganligi  uchun  unga  tashqi  elektr 
maydon  ta’sir  etsa,  uning  harakati  erkin  elektronlar  harakatidan 
farqlanadi.  Ammo  uni  effektiv  massa  m' bilar^erkin  harakatlanayotgan 
zarvadli  zarra  deb  qaralishi  mumkin,  ya’ni  eE = >n  a .  O'tkazuvchanlik 
zonasidagi bu m' massali zarra erkin harakatlanayotgan elektrondan farqli 
bo‘lganligi sababli  (uni,  zarrani)  kvazielektron  deyiladi.  Oddiy  hollarda 
kvazizarraning  (fonon,  polyaron  va  shu  kabilarning)  massasini  topish 
uchun  dispersiya  qonuni  E(p )  berilgan  bo‘lsa,
1 
d 2E ( p ) 
m 
D P2
ifoda  orqalijopiladi;  bunda  o'tkazuvchanlik  zonasidagi  elektronning  E  
energiyasi,  P   kvazimpulsi.  Dispersiya qonuni anizotropiya xarakterga ega 
bo'lsa,  effektiv massa  tenzor xarakterga ega  bo‘ladi.
T
3.7-rasm.
73

---

Kristall  qattiq jismdagi  o'tkazuvchanlik  zonasida  harakatlanayotgan 
elektron  uchun  effektiv  massa  m’  aniqlangan  boMsa,  u  holda
P~
2 m
o'rinli  boMadi,  bu  holda  holatlar  zichligi
r  ' 
1/: 
о 
f
2 m * T ~
g(E)  =  OS 
,0   =  271— -
V 
h~  )
ifoda bilan aniqlanadi.
Um um iy  holda  o‘tkazuvchanlik  zonasidagi  elektron  va  valentli 
zonadagi  teshik  (kovak)  energiyalari  im pulslar  bilan  murakkab 
bog‘lanishda boMadi. Ammo amalda oMkazuvchanlik zonasi tubi yaqinidagi 
elektronlar  va  valentli  zona  yuqorisidagi  teshiklar  (kovaklar)  bilan  ish 
ko‘riladi.  Bunday  elektronlarni  eflektiv  m'e  massali  kvazielektronlar va 
effektiv  m'  massali  ]e| -  zaryadli kvazipozitronlar  deb qaralishi mumkin. 
Bu hoida holat zichligi funksiyasi erkin eiektronlardagi  kabi paraboladan 
iborat  boMadi  (q.  3.8  rasm).
3.8-rasm.
Bu holda dispersiya qonuni
t:{p)=  A + ^ - -   (elektronlar  uchun),
e (p)=:^y
  г 
(kovaklar  uchun),
* *  
P
ko‘rinishda yozish mumkin.  Bu yerda tashqi elektr maydon  ta’siri tufayli 
valentli zona «shifti» dagi elektronlardan qisman oMkazuvchanlik zonasiga 
oMis.hi  mumkinligini  ham  nazarda tutmoq  kerak.
74

---