P habibullaev

С   =   к
  J(jcZ)"g(co)3 N k
0
Bu holda  x Z   «   1  ekanligidan
(
Dn 
b)[)
j ( x Z f  g(co)jco  «   Jg(co)i(o  =  3 N  
(78)
0 
0 
D em ak,  holatlar «yig‘indisi»  ossillyatorlar y ig ‘indisiga  teng.  (78)  ni Debay 
sharti  deyiladi.  g(co)  ning  (75)  dan  qiym atini  (78)  ga  q o ‘yib  olam iz
3
wD
jcoVco
CO,
3 N
2 n 2v i  ,f 
2tc2v 3
B undan  n o m a ’lum   coD  n i  topam iz:
ю ’  =  6
ti
2N
v
* 
(79)
H olatlar zichligi  g(a>)  ning (75)  ifodasini  coD  orqali quyidagicha yozam iz 
(2.8  rasm ):
g(co)=<
9M o2
or.
ft(D,
CO  <  CO,
(0  >  CO,
TD  -   ——-   ni  Debay  temperaturasi  deyiladi.
К
(
80
)
4 7

---

Birlik  hajmdagi  ichki  energiya  U ning  ifodasini yozaylik:
9 . У Г Г   |  x d x  
9 N k T   |  x d x  
Ti
j  ,  v  (  
9 /V 
/-.со 
, 
9 Nk  T 
j  x d x  
9 N k T   j  x   dx
К с ) ф > /(  o = —  
--f— ю-rfo)  = ----— -   ------- — -
J 
cor  J  e  -   1 
c)  t, 
J  e  -   1 
,vn 
J  e  - 1
1) 
U  0 
U,L
bunda
x D  =  t m D  ! k T   =  TD  / Г   =  г ].
£>(r|)ni Debay funksiyasi deyiladi.  Demak, kristallning ichki energiyasi uchun
U   =  3 N kT C (r\) 
(82)
ifodani  olamiz.  Bu  (82)  ifodadan  kristallning  fonon  m odeli  asosidagi 
issiqlik  sig'im   ifodasini  olamiz:
С  =  - -   =  3NkD {r\)  +  3 nK t  —  - -  
d T  
a n   dT
(83)
1. 
Yuqori tem peraturali  holni qaraylik.  Bunda  T   »   TD ( x   «   l)   shart 
bajarilsin.
Bu holda quyidagi yoyishdan foydalanam iz  (q.  M asala 2.2)
Bu holda
x  
1 
, 
x
-------------=   A ' " ----------
X
 
H----------
e ' - l  
2
 
12
(84)
D (i 1)
~  
п  I
■ I
Л "  -   — л  +  —  
2
 
12
dx  =  4
У  
1 
4 
1 
,
------- Г|  +  —  ц   -  
...
11
3 
8 
60
3 
1 
,
— T| + — Г)" 
8 
20
D em ak,  bu  holda
U  =  3 N k T
B undan
С  =
3 T
\  _  
о
1
+  ----
f' 
-j-' 
\ 
* D
8 Т
20 [ т )
d U
1 ( т  Y
—   =  3 N k 1  -
D
д Т
20 к т   )
■f-  * * •
(85)
(
86
)
(87)
2.  Past tem peraturali  holni  qaraylik.  Bunda  TD  »   T   shart bajarilsin. 
Bu  r)  —»•  со  holda
4 8

---

j  
i  ;c  d x
D ( r j ) -  
I
-- 
( 4 )   --
'П'’  J t '   --1 
ij ‘ 
»1  JO
D e i n a k ,
Bunda,
DU
O'!
U
  =  
W k T D ( ^ )
  -  
3 N k T
3N k T  'it ‘
; , n
Л']'''
~  V
__ 
D U
 
_ 
1 2 л 1 N k
 
,   _  
\ 2 n ; N k
  | 
Г
 
j
DN
57
;:
Г,  j
('Рф  ifoda  kristall  qattiq Jism  m iq lik   sig'imi  a chcf’  (1919-yiida  olingan) 
Debay  qonunidir.
Izoh.  Issiqlik  sig’imi  ifodasi  (77)  dan  T   <<  Tt)  bo 'ig an d a  D ebay 
qonunir.i  bevosita  olish  m um kin,  X aqiqatan  ham
V>f-> 
-
  ^
  X  l 
l „
 
_ 
V:
С  ~ 
f(.v Z )V A >   =  9M .|  —  j  [z'-xM:,  ■---  3 M  4 '   \ z :x \ l <   (a n
\ T
: , 
j  
J 
I ] '  
J  
'  ■
'
t n~v
Bunda  integral  x  >>  / b o ‘lg a n 'h
-
I
' M
-
■r  4
’л   d x  
4я*
4
  ■
 
— - .... -  -  
4 ^ ( 4 ) Г ( 4 )

15
(9 :>)
ekanligidan  foydalanib,  yana  D ebay  qonuni
С
l 2 n 4N k
T
T,
D
  /
olinadi.
Integral  uchu n
4  -  
№ .
  276
4 9

---

ifoda olinadi;  bu yerda  q( S)   -  zeta funksiyaning qiymatlari jadvalda beriladi.
( 3  ^ 
ц 2 
( 5   ^ 
я 4
4 ~   = 2 ,6 1 2 ;  Ш )   =  ~ ;  
1341;  4(3)  =  1,202;  4(4)  =  — ;
u
) 
'
6
 
\ 2 )  
90
4(5)  =  1,037;  4(6)  =  - ^ -  
945
Bir  necha qattiq jism larning  D ebay tem peraturasi  TD ni  quyidagi jadvalda 
keltiramiz.
Jadval
Qattiq jismlarning  Debay  temperaturasi.
T ° K
Kristall  I e m p e ra tu ra
Q o 'rg 'o s h in
88
Yod
106
Benzol
150
Kaliv
100
N atriy
172
Osh  uizi
281
Mis
315
Temir
453
Berilley
! 000
Olm os
I860
Shunday qilib,  Debay qonum ga ko'ra  T   —>  0  bo'lganda issiqlik sig‘im 
C~T3 qonun bo'yicha nolga  intiladi.  Past tem peraturalarda eksperim entda 
shunday  qonuniyat  kuzatiladi.
A m m o  bir  qator  hoilarda,  Debay  tem peraturasi  TD  tem peraturaga 
bog'Iiq  bo'lgani  uchun  (2.9-rasm ),  issiqlik  sig'im ning  tem peraturag a

---

bog'liqligi  Debay  qonunidan  chetlanadi.  Buning  sababi  shuki,  o‘zining 
real  kristall panjaralariga ega bo'lgan  real  kristall uzluksiz  (yaxlit)  muhit 
(kontinuum)  bilan  almashtirilishi  va  uning  uchun  maksimum  chastota 
соD  qabul  qilinishidir.  Bunday  almashtirish  nisbatan  kichik  chastotalar 
(katta  to'iqin  uzunliklar)  uchun  yaxshi  natija  beradi,  chunki  bu  holda 
bunday to'iqin uchun kristallning atom tuzilishi unchalik katta ahamiyatga 
ega emas. Chastota ortishi bilan kristallning strukturasi  (atomlararo masofa) 
rol o'ynay boshlaydi va demak, issiqlik sig'imining temperaturaga bog'liqligi 
Debay  qonunidan  chetlana  boshlaydi.  1  К  atrofida tajriba  natijalarining 
Debay qonunidan  chetlanishi kutatiladi;  bu sohada  kristallning elektron 
strukturasi  (elektronlar  sistemasi  issiqlik  sig'im i)  fonon  strukturasidan 
ustunlik  qilishi  sabablidir  (2. 10-rasm).
100
Vismut (lii)
2.9-rasm.
2.10-rasm.
M asala 2.2. 
Debay funuksiyasidagi
3 
1 
4
*  
2 
1  , 
x
----- =  X ----x  + —
e'
  -   1 
2 
12
yoyilmaning yuqori temperaturada o'rinli ekanligini isbot qiling.
5  1

---

Yechish. Yordatnchi  funksiya
f ix )   = 
( 1)
e  -  1
kiritib,  uni  x=0  atrofida  leylo r qatoriga  yoyaylik:
/(>;)  =  / (0 ) + / '( О)* + |  / W
  +  ... 
(2)
1 
,vel 
e ‘(l - x) -  1
' 
"   ( ' 
•  1 
( ё - l f  
( e ' - l f
 
( 3 )
f i x )   -
K’'  -  1)" 
!C  -  1) 
'
--  У
 
= 
1
  +  a:  + 
+  ...
Л 
, 
x~
—   = 
1
  +  a:  +  —  
n\ 
2
(5)
lim 
. 
lim 
x 
lim  
1
---- - J ( x )   ------ - — —   = ---- - -   =  1 
(6)
x  —>  0 
л ".> 0  e  —  ] 
л  —> 0  e
f ( x )   _  
£-'(1
  -  
x) - 
1
  ^ 
e'{\ 
-  ~  v 
I l l   =  _  
I
.v  —> 0 
(£?'  — 1)" 
2 ( e ' - l ) e '  
2(e'  - i) 
22
A * )  
1
-  ( ..
x e   '
  + 
x e '
  -  
2 e~ '
  +  2 x e*'  + 
2 e ') 
=
x  —> 0 
( r   -  i)
--- i--- (xe: '  +  xe'  - 2e2 ‘  +  2e ')  ->
«' 
l i !
e2‘  +  2xe2'  +  e'  +  xes  — 4e" ' +  2e,t
—^ ------------------_------------ —>
3(ел  -  1) V
- Зе'  +  2e'  +  2хё  +  1 
-  1ел  +  2хех  + 2е' 
1
^
--------------------------
>
---------------------- >  _  
/8ч
Ь{е'  -  1)е‘ 
6 е '(е '  - I) + 6 е" 
6
Demak,  (6),  (7)  va  (8)  ni  (2)  ga  qiyib  topamiz.
z w   =  i - f + i . . .  
(9)
(9)  ni  x2 ga  ko'paytirib,  asosiy  matndagi  yoyilma  (84)  ni  olamiz,  ya’ni
5 2

---

■'ч" '  
"  
2 
12 
M asala 2.3. 
Debay modeliga asosan kristallning ichki energiyasi U  va 
issiqlik  sig‘imi  С  quyidagi  ifodalar bilan  aniqlanadi:
U   =  3N kTD (j}), 
( I )
C = 3 N k D c(r\), 
( 2)
bularda
3 
f  x  dx 
D {
 л)  =  —   -
Л  j  (
Л  J  c '  -  1
(3)
4 
3  " j V   4  j 
3  V j c V   dx 
Dc(x\)
 
=  —  
Z   л-  dx  =  —  
—
 —  7 
(4)
Л  
J  
т у ’  J   ( e ’  -  
1
Г
0 
’ o '
Kristallning  a)  yuqori  temperatura  7’  »   TD  va  b)  past  temperatura 
T   «   TD  uchun Debay funksiyalari D ( Л ) va О с (л ) ni aniqlang. Olingan 
natijalarni  izohlang.
Yechish.  a)  T  »   TD yoki X  «   1  ho!.  Bu holda  2.2  masaladagi
л" 
, 
x 
x~
-----~  1 -----1
---  
(5)
еч  - I  
2 
12
ifodadan  foydalanib,  О (л )  va  D c O l)  ni  topamiz:

---

f
 
3 
1 
, 
u
  =  3
NkT]
  1  -   -  n  +  —  
IV 
8 
20
Demak, yuqori temperaturalarda
3
T
  »  
Tn
С   -  ?>Nkl
 1  -  
- л 
-f 
л •
) , T   »   T,
(9)
(8)
i /.(Hi.  [.  .LvlДГ
-~>
 
ft
 
I 
_
Д .(П )  = 
j x 'E (x ) da  E ix )  = 
— 7  = ---- ------
ту  J  
(eJ  -  1)' 
c'  + e  1 - 2
1
  П
r —!
f '  =  У   x ’  / n\ 
e r  ■-  /   (— I )” x”  / ni
/  
j
 
/  
j
ni
dan  foydalanib,  taqribiy  ifodasi
E (x )  -  -
1 +
x~
12
12
olinishi mumkin.  Bu holda  [) (:,)  ning ifodasi
АЛЛ) = 4   f-v 
П  r
-■  \ix  =  1 - --TV 
12
  / 
20
bo'ladi, Bu holda
( 
1 
•  л
С  =  З М !  1----
TV
I 
20
(
10
)
( П)
(
12
)
Har  xii  taqribiyliklardan  foydalanilgani  uchun  С  ning  (9)  va  (12) 
natijalari  har xil.  Ammo  (9)  natija  aniqroqdir.
Izoh  2.  Ichki  energiya  U  va  issiqlik  sig‘im  С  ning  (8)  (9)  va  (12) 
ifodalaridan ko‘rinadiki, yuqori temperaturada  (x  «   1,  T   »   TD)  Debay 
nazariyasi klassik fizika natijalariga, ya'ni ossillyatorning o‘rtacha energiyasi 
k T  va  issiqlik sig'imi 3 Nk ga  (Dyulong-Pti qonuniga) oiib keladi.

---

A O l)  = 
Л 
[ ~ ~ l dx
n  
J  e  -
  1
b) Past temperaturalarda