O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

Avvalo o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama

(1)
ning xususiy hollari va bo‘lgan hollarni qaraylik. Aytaylik, (1) tenglamada bo‘lsin.
(2)
tenglama

tenglamaga ekvivalent. Bu tenglamaning har ikki tomonini integrallash natijasida

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, (2) tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.
Aytaylik, (1) tenglamada  bo‘lsin. Ushbu tenglamada
(3)
deb uni quyidagicha yozib olamiz:

Bu tenglamaning har ikki tomonini integrallab topamiz:
,
. (4)
Demak, (3) tenglamaning umumiy yechimi (4) ko‘rinishida bo‘ladi.
Endi

bo‘lsin. Ravshanki, bo‘lib, uning har ikki tomonini integrallash natijasida


(5)
bo‘ladi. (5) qaralayotgan (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.


1-misol. Ushbu

tenglama yechilsin.
¹ Berilgan tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

Bu tenglamaning har ikki tomonini integrallab topamiz:

Natijada bo‘lib, u berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi. ²


2-misol. Ushbu

tenglama yechilsin.
Berilgan tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

Bu tenglikdan

va uning har ikki tomonini ga bo‘lish natijasida

bo‘lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikning har ikki tomonini integrallaymiz:

Natijada

bo‘lib, bu berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.


3-misol. Ushbu
(6)
differensial tenglamaning

boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan yechimi topilsin.
Avvalo berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz, (6) tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda uchun

bo‘lishini e’tiborga olsak, unda tenglama ushbu
,
ya’ni

ko‘rinishiga keladi. Uni integrallab topamiz:


(bu holda o‘zgarmasni deb olish qulay bo‘ladi).
Shunday qilib berilgan differensial tenglamaning yechimi
,
ya’ni

bo‘ladi. Bu yechim boshlang‘ich shartda ( ) da

bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, berilgan differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi

bo‘ladi.

1 – yechim yoki isbotning boshlsnishi

2 – yechim yoki isbotning tugashi