Өзбекстан республикасының жоғары және орта білім беру министрлігі

I ТАРАУ.САЛЫСТЫРУЛАР ТЕОРИЯСЫ
Сандардың элементар теориясының маңызды мәселелерінің бірі болып табылатын салыстырулар теориясының негізінде болады. Салыстыру жөніндегі ұғым, мұны ең алғаш рет қолданған Гаусс, бір санның екінші санға бөлігіштігі ұғымымен тығыз байланысты. Бұл ұғым бізге әсіресе берілген сандардың бірі екіншісіне бөлінетін-бөлінбейтінін және де қандай қалдық қалатынын білу керек болғанда аса қажет болмақ.
Екінші дәрежелі салыстырулар теориясы ХҮІІ-ХІХ ғасырлардағы аса көрнекті математиктер Ферма мен Эйлер, Лангранж бен Лежандр, Чебышев т.б. еңбектерінде туып, қалыптасты.Салыстырулар теориясы әдістері кеңінен ғылым, технология, экономика түрлі салаларында пайдаланылады
Салыстырулар және салыстырулардың негізгі қасиеттері
Сандардың элементар теориясының маңызды мәселелерінің бірі болып табылатын салыстырулар теориясының негізіне тоқталайық.
Мысалы, n – натурал сан болғанда, мәнін табу үшін біз дәреже n-ді әдетте 4–ке бөлеміз де, тек қалдыққа ғана назар аударамыз.
Егер де болса, онда
болады.
бүтін сандар сақинасы, k – берілген бүтін сан, ал k санына еселі барлық бүтін сандар жиыны болсын.
Анықтама: Егер k саны санын бөлсе, онда a және b санына k модулі бойынша салыстырымды деп аталады.
Егер а саны kмодулі бойынша b-мен салыстырымды болса, онда оны былай белгілейді:
(1)
Салыстырымдылық қатынас:

1. 
   Рефлексивті, яғни
   

Дәлелдеу. кез келген санға бөлінеді.

2. 
   Симметриялы, яғни егер болса, онда .
   

Дәлелдеу. Егер (a-b)k-ге бөлінсе, онда –да k-ге бөлінеді.

3. 
   Транзитивті, яғни егер және болса, онда .
   

Дәлелдеу. Егер (a-b) және k-ге бөлінсе, онда k-ге бөлінеді.
Осыдан салыстырымдылық қатынасының эквиваленттік қатынас екендігін көреміз. Ал эквиваленттік қатынас жиынды кластарға бөледі. Олай болса Z-бүтін сандар жиыны да эквиваленттік кластарға бөлінеді. Осы эквиваленттік кластарды kмодулі бойынша қалындылар кластары деп атайды.
. Қалындылар кластарының кез келген екеуі қиылыспайды немесе беттеседі.
. А және В k-модулі бойынша қалындылар класы және . А және В беттеседі сонда тек сонда ғана, егер
. А k-модулі бойынша қалындылар класы және болса, онда , яғни .
Тұжырым. kмодулі бойыншаa және b сандары салыстырымды болады сонда тек сонда ғана, егер a және b сандарын k-ге бөлгенде олардың қалдықтары бірдей болса.