Өзбекстан республикасының жоғары және орта білім беру министрлігі

Бірінші дәрежелі салыстырулар системасы
Бірінші дәрежелі салыстырулар системасы берілді делік:

(1)системаны шешу дегеніміз – системаның барлық салыстыруларын бірдей қанағаттандыратын барлық салыстырымды емес сандарды табу.

Егер (1) системаның кемінде бір шешімі болса, онда оны үйлесімді система деп, ал керісінше жағдайда – үйлесімсіз система деп атайтын боламыз. (1) системаның үйлесімді болуы үшін ондағы әрбір саыстырудың бір шешімі болуы қажетті.

1. 
   Системаны шешкенде біртіндеп шешу методы делінетін метод қолданылуы мүмкін. (1) системаның бірінші салыстыруын шешміз, сонда –оның шешімдерінің бірі делік. Осы салыстыруды теңдеу түрінде жазайық: -кез келген бүтін сан.
   

x-тің осы табылған мәнін системаның келесі екінші салыстыруына

апарып қойып, у-ке қарағанда бірінші дәрежелі салыстыру шығарып аламыз:

Егер де болса, онда (2) салыстырудың айырмасы -ге бөлінетін жағдайда, орындалуы мүмкін. Осы айтылған шарт орындала- ды деп есептеп, (2) салыстырудың шешімдерінің бірін табамыз:
, Осы теңдіктерден,
шығады, мұнда z-кез келген бүтін сан. Егер де х-тің осы табылған өрнегін (1) системаның үшінші салыстыруына апарып қойсақ, z-ке қатысты салыстыру шығады:
(3)
(3)салыстырудың саны ге бөлінетін жағдайда, дегеніміз - мен сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші, шешімі болады. Бұл шарт орындалған жағдайда (3) салыстыруды шеше келіп, оның шешулерінің бірін табамыз:

Мұнда t-кез келген бүтін сан.
Енді (1) системаның төртінші салыстыруына келейік,мұнда да х-тің мәнін орнына қоямыз

Мұнымыз да жаңа белгісіз t-ге қатысты салыстыру болып шығады:
(4)
(4)салыстыру орындалады деп ұйғарып, оның шешімін табамыз:

Мұнда u- кез келген бүтін сан.
Әрі қарай мәнін (1) системаның бесінші салыстыруына қоямыз т.с.с. Осы процесті әрі қарай соза отырып, ақырында (1) системаның барлық салыстыруларын да қанағаттандыратын х-тің мәнін табамыз, система, әрине, үйлесімді деп ұйғарылады.
Мысал ретінде мынадай системаны қарастырайық:


Алдыңғы салыстырудың шешімі екеу:

Енді деп ұйғарып, системаның екінші салыстыруынан табатынымыз:

Соңғы салыстырудың шешімі алтау:

Бұдан .
у-тің осы табылған мәндерін теңдігіне қойып, берілген системаның 6 шешімін табамыз.

Екінші шешімнен шығады, мұны системаның екінші салыстыруына қойып, немесе табамыз. Олай болса, салыстыруының 6 шешімі бар:

Бұларды теңдігіне қойып, берілген системаның 6 шешімін табамыз:

Келесі мысал ретінде мынадай системаны қарастырайық:


Бірінші салыстырудың шешімі не болмақ.
Осы мәнді екінші салыстыруға апарып қойып,

табамыз. салыстырудың шешімі болмайды, сондықтан берілген система, оған еніп отырған әр салыстырудың өз алдына шешімдері болғанмен үйлесімді емес. Бұл мысалға қарап біз мынадай қорытындыға келуімізге болады: системаның әрбір салыстыруының өз алдына шешімдері болғанмен, система үйлесімді бола бермейді.
(1)системаны одан гөрі ықшамдау басқа бір системамен алмастырайық. Бұл үшін (1) системаның әр салыстыруын жеке-жеке шешейік, сонда табылған шешімдер мыналар болсын:

(1)системаны қанағаттандыратын х саны (5) салыстырулардың барлығын да қанағаттандыруы тиіс екендігі түсінікті, сөйтіп, (1) системаны шешудің орнына одан анағұрлым ықшам (5) системаны шешуге болады.(1) системаның кейбір салыстыруларының шешімі бірнешеу болуы мүмкін; бұлай болған жағдайда түрі (5)-дей бірнеше система құруға тура келеді, мұндай системалардың саны, егер деп (1) системаның µ-ші салыстыруының шешімдерінің санын белгілесек, көбейтінді тең болатынын түсіну қиын емес.

Енді системаның модульдары қос-қостан өзара жай сандар болып келетін аса бір қажетті жағдайда тоқтап өтейік.
Айталық, мынадай система берілді делік:

мұнда модульдары қос-қостан өзара жай сандар.
Мұндай системаны шешкенде жоғарыда өзіміз көрген жалпыға ортақ тәсілмен бірге мынадай бір оңай тәсілді қолдануға да болады.
Мына теңдіктердің көмегімен сандарын табамыз, одан кейін мына

салыстырулардың көмегімен сандарын табамыз. (7) салыстырулардың әрқайсысының да шешімі бір-бірден ғана, өйткені

Олай болғанда (6) системаның шешуі

болады.
Шынында да, модулдары қос-қостан өзара жай сандар, ендеше сандары да өзара жай сандар болады, бұлардың өзгесі -ге, өзгесі -ге бөлінеді т.с.с. Олай болса, (7) салыстыруларды ескере отырып, былай жазамыз:




Сонымен, (6) системаның шешімі, шынында да, (8) формуламен өрнектеледі.
Мынадай системаны қарастырайық:



мұнда 7,4,9 модулдары өзара жай сандар. Салыстырулардың әрқайсысын жеке-жеке шеше келе, берілген системамен мәндес системаны шығарып аламыз:

мұнда
Мыналарды табамыз:

Мына салыстырулардан мәндерін табамыз:

Демек, берілген системаның ізделінді шешімі мынау: