O’zbekiston respublikasi xalq ta`lim vazirligi a. Qodiriy nomidagi jizzax davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

3^’ – ta’rif. [1] Agar son olinganda ham shunday son topiksaki, segmentni diametric har qanday P bo’laklash uchun tuzulgan yig’indi ixtiyoriy nuqtalarda

Tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda l son son yig’indining dagi limiti deb ataladi. U yuqoridagidek ((*) ga qarang) belgilanadi. Yig’indi limitining bu ta’riflari ekvivalent ra’riflardir.
4 – ta’rif. [1] Agar da funktsiyaning integral yig’indisi (1.2) chekli limitga ega bo’lsa, u holda funktsiya segmentda integrallanuvchi deyiladi, – yig’indining chekli limiti l esa funktsiyaning segmentdagi aniq integrali deb ataladi. Funktsiyaning aniq integrali

kabi belgilanadi.
Demak,

Bunda a son integralning quyi chegrasi, b son esa integralning yuqori chegarasi, segment integrallash oralig’i deb ataladi.

Darbu yig’indilari. Aniq integralning boshqacaha ta’rifi

1.Darbu yig’indilari. funktsiya opaliqda aniqlangan bo’lib, u shu oraliqda chegaralangan bo’slin. Demak, shunday o’zarmas m va M sonlar mavjudki, lar uchun
(2.0)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
Endi oraliqni biror

bo’laklashni olaylik. Modomiki, funktsiya oraliqda chegaralanganekan, funktsiya har bir oraliqda ham chegaralangan bo’lib, bu funktsiyaning aniq chegaralari
,
(2.1)

Mavjud bo’ladi.
Ravshanky, ixtiyoriy uchun
(2.2)
tengsizliklar ham o’rinli bo’ladi. Endi va sonlar oraliqning uzunligi ga ko’paytirib quyidagi


yig’indilarinin tuzamiz.
5 – ta’rif. Ushbu
, (2.3)
yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yiug’indilari deb ataladi. Bu ta’rifdagi va sonlar uchun tengsizlik o’rinli bo’lganidan
(2.4)
tengsizlik ham o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Ravshanki, (2.3) yig’indilar funktsiyaga bog’liq bo’lishi bilan birga oraliqni P bo’laklashga ham bog’liq bo’ladi, ya’ni
.
Ammo, biz hamma vaqt muayan bitta funktsiyaning integral tushinchasini o’rganamiz, shuni e’tiborga olib, soddalik uchun, Darbu yig’indilarini s(P) va S(P)kabi belgilab boramiz. (2.2) tengsizliklarni ga ko’paytirib topamiz:

Keyingi tengsizliklardan esa

tengsizliklar kelib chiqadi. Demak,
(2.5)
Shunday qilib, funktsiyaning integral yig’indisi har doim uning Darbu yig’indilarai orasida bo’lar ekan.
(2.2) munosabatdan yana bitta xulosa chiqarish mumkin: nuqtani tanlab olish hisobiga ni , shuningdek, qiymatlarga har qancha yaqin keltirish mumkin. Bundan esa Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari berilgan bo’laklash uchun integral yig’indining mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralari bo’lishi kelib chiqadi:
, S (2.6)
Endi (2.0) va (2.1) munosabatlarga ko’ra (funktsiyaning aniq chegarari xossalaridan foydalanamiz):

tengsizliklar o’rinli. Shuning uchun ushbu


Tengsizliklar ham o’qinli. Ravshanki,

Demak, uchun quyidagi