O`zbеkiston Rеspublikasi

8-§. Funksiyaning o’sish va kamayish shartlari. Funksiyaning ekstremum nuqtalari. Ekstremumning zaruriy va etarlilik shartlari. Funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari. Funksiya ekstremumlarini ikkinchi tartibli hosila yordamida tekshirish. Funksiya grafigining botiqligi va qavariqligi, egilish nuqtalari. Egri chiziqlarning asim’totalari. Funksiya grafigini yasash.

Ma’lumki, tabiat va iqtisodning ko’p qonunlari funksiya yordamida modellashtiriladi. Bunday funksiyalrni bilish ularning qaysi oraliqda o’suvchi yoki kamayuvchi hamda ular qanday nuqtalarda eng katta va eng kichik qiymatlarga erishishini aniqlash imkonini yaratadi. Bunga o’xshash tekshirishlar funksiya dinamikasini anglashga olib keladi.

1) Funksiyaning monotonligi.

1-ta’rif. oraliqning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ikkita nuqtalari uchun, tengsizlik bajarilsa, funksiya oraliqda o’suvchi deyiladi.

2-ta’rif. oraliqning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ikkita nuqtalarsi uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya oraliqda kamayuvchi deyiladi.

Oraliqda o’suvchi yoki kamayuvchi funksiyalar monoton funksiyalar deyiladi.

Monotonlikning zaruriy va yetarli shartlari:

1) oraliqda differentsiallanuvchi funksiya musbat hosilaga ega, ya’ni bo’lsa, funksiya shu oraliqda o’suvchi bo’ladi;

2) oraliqda differentsiallanuvchi funksiya manfiy hosilaga ega, ya’ni bo’lsa, funksiya shu oraliqda kamayuvchi bo’ladi.

1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini toping.

Yechish. Birinchi tartibli hosilani topamiz:

bundan kritik nuqtalar bo’lib, ular funksiyaning aniqlanish sohasini oraliqlarga ajratadi.

Bu oraliqlarning har birida hosilaning ishorasini tekshiramiz. oraliqdan ixtiyoriy nuqta olib, masalan, bo’lsa, bo’ladi. Bunday tengsizlik oraliqning istalgan nuqtasi uchun bajariladi (buni tekshirib ko’ring). Demak, oraliqda funksiya o’suvchi (o’suvchi funksiyaning yetarli shartiga asosan).

oraliqning nuqtasida bo’lib, bu oraliqning istalgan nuqtasi uchun, tengsizlik bajariladi. Kamayuvchi funksiyaning yetarli shartiga asosan, oraliqda funksiya kamayuvchi bo’ladi.

oraliqning nuqtasi uchun, bo’lib, bu tengsizlik ham oraliqning istalgan nuqtasi uchun bajariladi, demak, funksiya oraliqda o’suvchi.