O`zbеkiston Rеspublikasi

1-misol. giperbolaning yarim o’qlarini, fokuslarini, ekstsentrisitetini hamda asimptotalarining tenglamalarini toping.

Yechish. Berilgan tenlamani 144 ga bo’lib tenglamani kanonik ko’rinishga keltiramiz. Bundan bo’lib, haqiqiy yarim o’q , mavhum yarim o’q bo’ladi. bo’lib, fokuslari nuqtalarda bo’ladi. Ekstsentrisitet .

va larning qiymatini (2) asimptota tenglamasiga qo’yib, tenglamalarni hosil qilamiz. Bu asimptotalar tenglamasidir.

x

11-chizma 12-chizma

2. Parabola va uning tenglamasi.

Ta’rif. Tekislikda, har bir nuqtasidan berilgan nuqta (fokus) gacha va berilgan to’g’ri chiziq (direktrisa)gacha masofalari o’zaro teng bo’lgan nuqtalar geometrik o’rniga parabola deyiladi.

Koordinatlar sistemasini shunday olamizki, o’qi (fokus)dan o’tib, direktrisaga perpendikulyar, o’qi esa fokus va direktrisaning o’rtasidan o’tsin (12-chizma). parabolaga tegishli ixtiyoriy nuqta bo’lsin. nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani bilan belgilaymiz. Bunda bo’lib, direktrisaning tenglamasi bo’ladi. Ta’rifga asosan, . Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga asosan, .

Bu tenglamadan irratsionallikni yo’qotib, (4) tenglamani hosil qilamiz. Bu absissalar o’qiga simmetrik parabolaning kanonik tenglamasi bo’ladi. Ordinatlar o’qi simmetriya o’qi bo’lsa, parabola tenglamasi ko’rinishda bo’ladi. Bu holda direktrisa tenglamasi, nuqta fokus bo’ladi (13-chizma). nuqtada o`tkazilgan urinma tеnglamasi.

13-chizma

nuqtadan fokusgacha masofaga fokal radius deyiladi va nuqtadan fokusgacha masofa bo’ladi.

2-misol. parabolaning fokusini va direktrisasining tenglamasini toping. nuqtadan fokusgacha bo’lgan masofani aniqlang.

Yechish. Berilgan tenglamani (7) tenglama bilan solishtirib bundan Shunday qilib, fokus nuqtada direktrisa tenglamasi =-3 ekanligini topamiz. nuqta uchun , bo’lib, fakol radius bo’ladi.

5-