O‘zbekiston respublikasi

Mashqlar

Quyida berilgan tenglamalarni oddiy iteratsiyalar usuli bilan yeching (bunda a, b, c,  parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qilishing‘iz mumkin):

_1. ax³  b  c

^{ 0} , a = 1.11; b = –10.11; c = –2.02;  = 710^-5.

2. ^{ax  bxsin x  0} , a = 2.01; b = –1;  = 10^-5.

3. ^{a cos(x  b)  cx3  0} , a = 2.13; b = 3.62; c = –4.12;  = 210^-4.

4. ^{ln(x  a)  (x  b)5  0} , a = 2.11; b = 4.03;  = 310^-5.

5. ^{ax2 cosbx  cx  0} , a = 2.93; b = 3.01; c = 2.1;  = 710^-5.

6. ^{a / x  becx  0} , a = 2.37; b = –0.99; c = 0.56;  = 510^-4.

Izoh: Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica va boshqa) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.

5. Teskari funksiyaga o‘tish bilan ketma-ket yaqinlashish usuli

Yuqorida ko‘rsatildiki, ketma-ket yaqinlashishning ushbu x_n+1 =  (x_n), n = 0,1, 2, ... formulasi Lipshits shartini bajaruvchi  (x) funksiyani tanlashni talab qiladi. Buni quyidagicha umumlashtirish mumkin.

Agar x = (x) tenglama uchun izlanayotgan ildiz atrofida ^{(x)  1}

shart bajarilsa va yaqinlashish sharti bajarilmasa, u holda bu tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan ushbu x = (x) tenglamaga almashtirish lozim bo‘ladi, bunda (x) funksiya (x) funksiyaning teskarisi, x funksiya esa o‘ziga o‘zi teskari. U holda (x) = 1/( (x)) ekanligidan ushbu (x) = 1/(x)1/M<1 tengsizlik kelib chiqadi va bu yangi iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligini ta’minlaydi.

Misol. Ketmaket yaqinlashish usuli bilan 5x-8(lnx+1)=0 tenglamaning musbat ildizlarini topish talab etiladi.

Yechish. Bu tenglamani 5x/8-1=lnx ko‘rinishga keltirib, y=5x/8-1 va

y=lnx funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalari taxminan ₁  0,45 va

₂  3,7 ekanligini aniqlaymiz. Bu ildizlardan ikkinchisini ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida yanada aniqroq topaylik: x=1.6(1+lnx)=

(x), bu ildiz atrofida (x) = 1.6/x  1, u holda jarayon yaqinlashadi ( agar boshlang‘ich x₀ qiymat ₂ ga yaqinroq olingan bo‘lsa). Ammo ₁ atrofida

(x) = 3,5 > 1 va iteratsion jarayon uzoqlashadi. Ana shu holatda berilgan tenglamaga teng kuchli bo‘lgan tenglamani beruvchi x = exp(0.625x-1) =

(x) teskari funksiyaga o‘tamiz. Bu yerda (x) = 0.625exp(0.625x-1) 

0.3 < 1 va jarayon yaqinlashadi.

6.