O‘zbekiston respublikasi

Steffensen (Eytken-Steffensen) usuli

Urinmalar usulining yaqinlashish tezligini oshirish uchun (1.12)

ifodadagi ^{f (xn )} hosilaning approksimatsiyasi o‘rniga quyidagi ifodadan

foydalalanish lozim:
f ^(x ) 
n

f (x_n1 ) 

^{f (xn )} . (1.14)

^xn1

• 
  x_n
  

Agar (1.12) ni chap ayirmali approksimatsiya desak, u holda (1.14) ni o‘ng ayirmali approksimatsiya deb olish mumkin.

(1.14) dan ko‘rinadiki, unda hali aniqlanmagan x_n+1 noma’lum had qatnashmoqda uni hisoblash uchin (1.2) oddiy iteratsiyadan foydalanamiz:

^{xn1  g(xn )  xn  f (xn )} .

Natijada biz quyidagi approksimatsiyaga ega bo‘lamiz:

f ^(x ) 

f (x_n 

f (x_n )) 

f (x_n ) _.

ⁿ f (x )
n

Bu ifodadan Nyuton usulida foydalanish bilan yangi iteratsion algo- ritmga ega bo‘lamiz:

x  x 

f (x_n )

f (x

⁾ . (1.15)

n1 n _{f (x }
n


f (x_n )) 

f (x_n )

Bu iteratsion algoritm sonli usullarda Steffensen usuli deb ataladi. Steffensen usuli kvadratik yaqinlashishga ega, ammo bu yerda
n

qo‘shimcha ravishda

f (x_n  f (x_n ))

ifodaning qiymatini hisoblash hisobiga

yuqori yaqinlashish tezligiga erishiladi. Bu usul har bir iteratsiyada funksiyaning qiymatini ikki marta hisoblashni talab qiladi, bu jihatdan Steffensen usuli kesuvchilar usuliga qarahanda kamroq samara beradi.

Yuqoridagi (1.15) iteratsion algoritmni Eytken tomoni-dan taklif etilgan chiziqli yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning yaqinlashishini tezlashtirish uslubidan ham olish mumkin.

Buning uchun quyidagi ketma-ketlikni qaraylik:

z_n = z + Cqⁿ. (1.16)

Bu ketma-ketlik q<1 da z limitga yaqinlashadi. Uncha qiyin bo‘lmagan akslantirishlar yordamida z limitik qiymatni {z_n} ketma-ketlikning uchta z_n-1 , z_n va z_n+1 ketma-ket elementlari orqali ifodalash mumkin. Buning

uchun bizga ko‘rinib turgan

z_n  z _{ q va}

z_n1  z

z_n1  z _{ q} z_n  z

ikkita tenglikdan ushbu

(z_n1  z)(z_n1  z)  (z_n  z)^{2 tenglikka kelinadi. Bu yerdan esa o‘z navbatida z}

ning quyidagi ifodasi kelib chiqadi:

^zn1^zn1 ^{ z}2





z  ⁿ _.

^zn1 ^{ 2z}n ^{ z}n1

Bu natijaga asoslanib, {z_n} ketma-ketlikni boshqa ketma-ketlikka

almashtirishning quyidagi Eytken taklifini qaraylik:

_{ } ^zn1^zn1 ^{ z}2
n

n1

^zn1

• 
  2z_n
  

• 
  ^zn1
  

. (1.17)

Agar bu almashtirishni (1.16) ko‘rinishidagi ixtiyoriy ketma-ketlikka

qo‘llasak, u holda n ning ixtiyoriy qiymatida

_n  z  lim z_n

n

tenglik o‘rinli

bo‘ladi. Agar {x_n} ketma-ketlikning yaqinlashish turi (1.16) nikiga yaqin bo‘lsa, u holda (1.17) almashtirish (n ning ixtiyoriy qiymatida uning

limitini bermasada) z ga dastlabkisiga nisbatan tezroq yaqinlashuvchi yanqi ketma-ketlikni beradi.

1. 
   misol. Ushbu
   

x³–x²–8x+12=0

tenglamaning ikki karrali x_r = 2 ildiziga taqribiy yaqinlashishni Nyuton usuli va unga Eytken tezlatgichini qo‘llash bilan bajaring.

Yechish. Hisoblashlar natijalari mos ketma-ketliklar elementlari bilan quyidagi jadvalda keltirilgan (uchinchi va to‘rtinchi ustunlarga qarang).

Bu jadvalning uchinchi ustunida yaqinlashish tezligi  = 1 deb faraz qilinib, (1.16) tenglikdagi C o‘zgarmasning har bir iteratsiyadagi qiymatlari keltirilgan. Jadvaldagi natijalardan ko‘rinadiki, C o‘zgarmas it- eratsion jarayonda juda kam o‘zgarib boradi va u C=0,5 qiymatga juda ham yaqin. Natijada Nyuton usulining karrali ildizga yaqinlashish tezligi chiziqli ekanligi haqidagi faraz isbotlanadi.

Chiziqli yaqinlashuvchi {x_n} ketma-ketlikni (1.17) tezlashtirivchi formulaga qo‘llab, jadvalning to‘rtinchi ustunidagi _n larning qiymatlariga erishamiz. Jadvalning ikkinchi va tortinchi ustunlaridagi qiymatlarni taqqoslash bilan yaqinlashish tezligiga erishganligimizga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan ham, Nyuton usulining o‘n to‘rtinchi iteratsiyasida er- ishiladigan natijaga Nyuton usuli va Eytken tezlatgichini qo‘llab, uning ettinchi iteratsiyasida shu najijaga kelish mumkinligini ko‘rish mumkin. Bu jadvalning beshinchi ustunidagi natijalar yaqinlashish tezligi

ko‘rsatgichi  ning oshishi hisobiga emas, balki C o‘zgarmasni 0,25 gacha kamaytirish hisobiga bunday samarali natijaga erishilganligini ko‘rsatadi.

Endi oddiy iteratsiya usulida ildizga taqribiy yaqinlashishning tezlig-

ini oshirishni tahlil qilaylik. Buning uchun avvalo

x_n1  g(x_n )

iteratsion

formulaning o‘ng tarafini Teylor qatoriga yoyaylik, ya’ni

g(x_n )  g(x_r  (x_n  x_r ))  x_r  g^(x_r )(x_n  x_r )  O((x_n  x_r )² ) ^, Bunga ko‘ra

^xn1 ^{ x}r

 g^(x_r )(x_n  x_r )  O((x_n  x_r )² )^.

Shunday qilib,

e_n  x_n  x_r

kvadrat aniqlik bilan har bir iteratsiya

uchun quyidagi taqribiy tenglikni yozish mumkin:

x_n1  x_r  g^(x_r )(x_n  x_r ) .

Bu yerdan {x_n} ketma-ketlikni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:

x_n  x_r [g^(x_r )]ⁿ (x₀  x_r )

Bu ketma-ketlikning ham yaqinlashishi turi (1.16) ketma-ketlikniki kabi. Demak, oddiy iteratsiyadagi ildizga yaqinlashish ketma-ketligi yaqinlash- ishni tezlashtirish protsedurasini qo‘llash uchun mos ekan,

Yaqinlashishni tezlashtirish protsedurasini qo‘llashda hisoblangan har bir yaxshilovchi qiymatnining keyingi hisoblashlarda ham hisobga olin- ishin ta’minlash maqsadida uni shu zahoti hisobga kiritish lozim. Bu iter- atsiyaning har bir qadamida quyidagicha bajariladi: Faraz qilaylik, hisoblashlar x_n ning qiymatini hisoblashgacha bajarildi; uning yordamida

ikkita yordamchi

x⁽¹⁾  g(x ) ^{va x(2)  g(g(x ))}

qiymatlarni hisoblaymiz.

n n ^{n n}

Uchta x,

1. 
   _va
   
2. 
   
   

n
x

qiymatlarga (1.17) tezlatgich formulani qo‘llaymiz va

uning natijasini navbatdagi x_n+1 yaqinlashish deb qabul qilamiz:
n

x


x_n g(g(x_n ))  g ² (x_n )
n

^{xn1 } g(g(x

))  2g(x_n

)  x_n

. (1.18)

Bu tenglik (1.15) Steffensen iteratsion formulasining yozilish shakllar-

idan biri ekanligi ko‘rinib turibdi.

2. 
   misol. (1.18) formulani ushbu
   

x³–x²–8x+12=0

tenglamaning ikki karrali ildizini topishga qo‘llang.

Yechish. Buning uchun Nyuton iteratsiyasiga mos

g(x)  x 

f (x)


f ^(x)

deb olib, (1.18) formula bo‘yicha hisoblashlardan

{0,5; 1,87215909; 1,99916211; 1,99999996; 2,00000000}

ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu qiymatlarni _n ning yuqoridagi jadvalning to‘rtinchi ustunidagi qiymatlari bilan taqqoslab, tezlatgichni ketma- ketlikka emas, balki hatija olingan algoritmga kiritish bilan samaradorlik oshganligini ko‘rishimiz mumkin.

7.