O‘zbekiston respublikasi

Mashqlar

Quyida berilgan tenglamalarni vatarlar usuli bilan yeching (bunda a, b, c,  parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qilishing‘iz mumkin):

1. 
   ax³  b  c
   

^{ 0} , a = 1.11; b = –10.11; c = –2.02;  = 710^-5.

2. ^{ax  bxsin x  0} , a = 2.01; b = –1;  = 10^-5.

3. ^{a cos(x  b)  cx3  0} , a = 2.13; b = 3.62; c = –4.12;  = 210^-4.

4. ^{ln(x  a)  (x  b)5  0} , a = 2.11; b = 4.03;  = 310^-5.

5. ^{ax2 cosbx  cx  0} , a = 2.93; b = 3.01; c = 2.1;  = 710^-5.

6. <sup>a / x  becx

 0</sup> , a = 2.37; b = –0.99; c = 0.56;  = 510^-4.

Izoh: Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica va boshqa) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.

4. Nyuton usuli (urinmalar usuli yoki chiziqlilashtirish usuli)

Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning eng samarali usuli bu Nyuton usulidir. Bu usulning g‘oyasi asosida tadqiq qilinayotgan f(x) funksiyani undanda soddaroq bo‘lgan funksiyaga, ya’ni uni urinmaga al- mashtirishdan iborat.

Geometrik nuqtai nazardan, dastlab x₀ nuqta orqali f(x) funksiyaning egri chiziqli grafigiga urinma o‘tkaziladi va uning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasining absissasi topiladi (1.17-rasm).

f(x) funksiyaning egri chiziqli grafigiga M₀(x₀, f(x₀)) nuqtasi orqali o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:

y  f (x₀ )  f '(x₀ )(x  x₀ ) _.

Keyingi x₁ yaqinlashish urinmaning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasi bo‘lib, bu nuqta ushbu

x  x

_ f (x₀ )

^{1 0} f ^(x )
0

formuladan topiladi. Bu jarayonni M₁, …, M_n-1 nuqtalar uchun xuddi shun-

day davom ettirib va

f '(x_n )  0

ekanligini e'tiborga olib, ushbu

x  x

• 
  f (x_n ) _,
  

n1

ⁿ f ^(x )

formulaga kelamiz, bunda [a,b] kesmada x₀=a, agar
n


f (a)  f ^ (x)  0

bo‘lsa

va x₀=b agar

f (b)  f ^ (x)  0

bo‘lsa.

Shakli o‘zgartirilgan formula:

x  x

• 
  f (x_n ) _.
  

n1

ⁿ f ^(x )

Bu formuladan foydalanilganda yaqinlashish tezligi bir oz sustlashadi. Urinmalar usuli shartli yaqinlashuvchi usul bo‘lib, uning yaqinlashishi
0

lim x  x

n


n

uchun ( ^x- ildizning izlanayotgan qiymat) ildiz izlanayotgan sohada quyidagi shart bajarilishi zarur: f (xn )  f ''(xn )  ( f '(xn )) . 2 Ixtiyoriy boshlang‘ich (nolinchi) yaqin- lashishda iteratsiya yaqinlashuvchi bo‘ladi, agar yuqoridagi shart bajarilsa. Aks holda yaqinlashish ildizning biror atrofidagina bajariladi. Iteratsion jarayonning yakunlanishi uchun quyidagi uchta kriteriyadan foy- dalanish mumkin:

1.17-rasm. Nyuton usulining geometrik talqini.

1. 
   Iteratsiyalarning maksimal soni. Bu kriteriyadan usul yaqin- lashmagan holda foydalanish lozim. Shunga qaramasdan talab qilingan aniqlikni qanoatlantiruvchi iteratsiyalar sonini oldindan aniqlash juda qiyin.
   
2. 
   Ildizga yaqinlashishning kuchsiz variatsiyasi
   

x_n1  x_n  

yoki

^xn1 ^{ x}n

  x_{n .}

3. 
   Funksiyaning yetarlicha kichik qiymati
   

f (x_n )   _.

Nyuton usuli ikkinchi tartibli yaqinlashish tezligiga ega. Bu shuni bild- iradiki, ildiz yaqinida xatolik quyidagi qonun bo‘yicha kamayib boradi:

  const ² _.

i1

i

Shuning uchun Nyuton usulining iteratsiyalari juda tez yaqinlashadi, chunki yuqoridagi 2) shartning bajarilishi uchun bir nechta iteratsiyaning o‘zi yetarli. Agar dasturda i > 10 da ham 2) yaqinlashish sharti bajarilishi kuzatilmasa, demak yoki formulada yoki dasturda xatolik bor degan xulosaga kelish kerak.

Shunday qilib, usulning ustunliklari: yaqinlashish tezligi boshqa usul- larga qaraganda ancha tez, bu boshlang‘ich yaqinlashishni ildizga yaqinroq tanlaganda yanada yaqqol seziladi; usulning kamchiliklari: boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash og‘ir; har bir iteratsiya qadamida hisoblashlar boshqa usullardagiga qaraganda ko‘p, chunki bunda nafaqat funksiyaning qiymatini, balki uning hosilasini ham hisoblab borish lozim; ba’zida aralash usulni qo‘llash afzal, ya’ni bu usulni qo‘llashdan oldin avval boshqa usulni, masalan, dastlabki bir necha iteratsiya qadamida oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulini qo‘llab, keyingi yaqinlashishlarni Nyuton usu- lida bajarish juda yaxshi natija beradi; agar f(x) funksiya grafigi [a,b] kesmada yetarlicha yotiq bo‘lsa, u holda f '(x)0 va hisoblashlarda xatolik tez ko‘payadi, bunday holda keyingi hisoblashlarda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga o‘tgan ma’qul; agar [a,b] kesmada umuman ildiz yo‘q yoki ular soni bir nechta bo‘lsa, u holda bu usul iteratsiyalarining takrorlanishlari soni cheksizlikka intiladi (1.18-rasm).

Usulning algoritmi: [a,b] kesmani va  aniqlikni berish. Agar f(a) va f(b) lar bir xil ishorali yoki f'(a) va f'(b) lar har xil ishorali bo‘lsa, ildizni topish mumkin emasligini bildirish. Boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash: x0=a, agar ^f^(^a^)^^f^^(^x^)^^0bo‘lsa; x0=b agar ^f^(^b^)^^f^^(^x^)^^0bo‘lsa.

1.18-rasm. Nyuton usulining uzoqlashishi.

4. 
   Navbatdagi yaqinlashishni ^x
   

 x 

f (x_n )

yoki ^x

 x 

f (x_n )

formula bo‘yicha hisoblash.

n

0


n1

ⁿ f ^(x )

n1

ⁿ f ^(x )

4. 
   Aniqlikni baholash:
   

^xn1 ^{ x}n

  _.

4. 
   Agar bu shart bajarilsa, ildiz deb ^x =x_n+1 ni qabul qilish, aks holda 4- qadamga o‘tish.
   

Nyuton usulining blok sxemasi 1.19-rasmda tasvirlangan.

1.19-rasm. Nyuton usulining blok-sxemasi.

Dasturda cheksiz takrorlanishlar kuzatilmasligi uchun funksiya grafigining qovariq yoki botiqligini (1.20-rasm) va iteratsiyalar sonini nazorat qilish maqsadga muvofiq.

Misol. Ushbu e^x – 3x = 0 tenglamaning eng kichik musbat ildizini  = 10^-4 aniqlik bilan toping.

Yechish. Berilgan tenglamaning mumkin bo‘lgan musbat ildizlarini topish uchun uni e^x = 3x ko‘rinishda yozib olamiz va y = e^x va y = 3x funksiyalarning grafiklarini MS Excel dasturida quramiz (1.21-rasm). Rasmdan ko‘rinib turibdiki, u ikkita haqiqiy musbat ildizlarga ega, ulardan eng kichigi [0;1] kesmada, kattasi esa [1;2] kesmada yotibdi.

Eng kichik musbat ildiz uchun f(x) = e^x – 3x funksiya [0;1] kesmada a) uzluksiz va differensiallanuvchi (birinchi va ikkinchi hosilalari mavjud), ya’ni f '(x) = e^x – 3; f ''(x) = e^x; b) birinchi hosila uzluksiz, o‘z ishorasini saqlaydi va nolga aylanmaydi, ya’ni f '(x) < 0; c) ikkinchi hosila uzluksiz, o‘z ishorasini saqlaydi, ya’ni f ''(x) > 0. Demak, f(0) f(1) < 0 bo‘lganligi uchun [0;1] kesmada oddiy ildiz mavjud.

a)

b)

1.20-rasm. Nyuton usulining geometrik interpretatsiyasi:

a) ^{f (x)  f  (x)  0} ; b) ^{f (x)  f  (x)  0} .
Dastlabki yaqinlashishni x₀ = 0 deb tanlab olamiz, chunki

f(0) = 1 > 0; f ''(0) = 1 > 0; f(1) = e-3 < 0; f ''(1) = e > 0

va bu yerdan f(0) f ''(0) = 1 > 0. Keyingi yaqinlashishlarni ushbu

e^xn  3x

^xn1 ^{ x}n ^n ^{, n = 0, 1, 2, …}

e^xn  3

formuladan topamiz. Bu hisoblashlar quyidagi yaqinlashishlarni beradi:

x₁ = 0.5; x₂ = 0.61; x₃ = 0.619; x₄ = 0.61909. Iteratsion jarayonning tugallanish shartiga ko‘ra _n = |x_n+1 – x_n| = 0.61909 – 0.619 = 0.00009

bo‘lganligidan izlanayotgan ildizni ^{x  0.619} deb qabul qilamiz.

1.21-rasm. Tenglamaning haqiqiy eng kichik ildizini MS Excel dasturida ajratish.