O’zbekiston Respublikasi ssv toshkent Farmasevtika instituti Farmatsiya fakulteti Farmatsiya yo’nalishi 1/2 guruh

2-eslatma.  Keltirilgan   bu xossalardagi shartlar faqat  yetarli  shartlar bo‘lib, 

ular zaruriy  emasdir. Masalan, 



(x) Dirixle funksiyasini olsak (8.4-va 8.5-bandlarga 

qarang), uning birorta  ham  nuqtada limiti mavjud emasligi ravshandir. Endi, 

 

 

 

  













J

x

Q

x

x

,

1

,

,

0

)

(



   

funksiyani qarasak, u birorta  nuqtada  ham  limitga  ega bo‘lmagan funksiyadir. 

Ammo,  

 

 

 

0

)]

(

[

,

1

)]

(

[

,

0

)

(

)

(

,

1

)

(

)

(













x

x

x

x

x

x

















    

funksiyalar  o‘zgarmaslardan    iborat  bo‘lib,  ular  ixtiyoriy  x

0

  nuqtada  chekli  limiti 

mavjuddir. 

5

0

.  Agar  f(x)  va  g(x)  funksiyalarning  limitlari    (chekli  yoki  cheksiz)  ma’lum 

bo‘lsa, u vaqtda  yettita shartli  

 

 

 



















1

;

;

0

;

;

0

;

;

0

0

0

0

       

(9.4.1) 

simvollar  bilan tavsiflanadiganlardan boshqa hamma hollarda  

 

 





 

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

;

)

(

)

(

);

(

)

(

);

(

)

(





   

 (9.4.2) 

ifodalarning    limitlarini  hisoblashda    yuqorida    keltirilgan    funksiya  limitining  

xossalaridan  foydalanish  mumkin.  Bu  (9.4.1)  yettita    simvollar  bilan    tavsiflangan 

hollarda    esa  (9.4.2)    ifodalar  aniqmasliklarni    bildiradi.    Bunday    aniqmasliklarni  

ochish uchun f(x) va g(x) funksiyalarning  limitlarini  bilishning o‘zi yetarli  bo‘lmay, 

bu  funksiyalarning  o‘zgarish qonunlarini  ham  hisobga  olishga to‘g‘ri keladi. 

 

Misollar: 

 

1) 

3

2

lim x

x



   topilsin. 

Ko‘paytmaning limiti haqidagi xossani qo‘llasak: 

8

2

2

2

lim

lim

lim

)

(

lim

lim

2

2

2

2

3

2































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

. 

2) 

2

6

5

lim

2

2









x

x

x

x

 topilsin.  

Bu yerda  maxrajning  limiti  nolga   teng  bo‘lgani  uchun  bo‘linmaning limiti  

haqidagi xossani qo‘llab bo‘lmaydi. 

Bundan    tashqari,  kasr  suratining  limiti    ham  nolga    teng    bo‘lgani  uchun  berilgan 

ifoda  

0

0

 ko‘rinishdagi  aniqmaslikdir. Bu limit ostidagi kasrning surati 

 

 

 

 

)

3

)(

2

(

6

5

2











x

x

x

x

  

 

bo‘lgani uchun, 

2



x

 da  x-2



0 ekanligini  e’tiborga olib,  

 

 

 

1

)

3

(

lim

2

)

3

)(

2

(

lim

2

6

5

lim

2

2

2

2





























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

ga ega bo‘lamiz. 

 

6

0

.  Biror  (a;  b)  oraliqda  aniqlangan    va  monoton  (keng  manoda  bo‘lishi  ham 

mumkin) funksiya uchun f(b-0) – chekli yoki ±



 ; f(a+0) – chekli yoki 





  limitlar 

(



 oldidagi yuqori ishora funksiya kamaymovchi, quyi ishora esa o‘smovchi bo‘lgan 

holga  to‘g‘ri  keladi);  undan  tashqari,   

 

b

a

x

;

0





    uchun    f(x

0

+0)  va  f(x

0

-0)  chekli 

limitlar 

mavjud 

hamda 





 



 



 









0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

















x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

 

o‘rinlidir. 

 

Bularning  isboti  monoton  ketma-ketlikning  chekli  yoki  cheksiz  limitining 

mavjudligidan kelib chiqadi. 

 

9.5. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar 

 

Matematik  analizda    muhim    ahamiyatga    ega    bo‘lgan  va    ajoyib    (muhim) 

limitlar deb ataluvchi ikkita  limitni  keltiramiz. 

 

9.5.1. Birinchi ajoyib limit 

 

1

sin

lim

0





x

x

x

 

 

 

(9.5.1) 

bo‘lishini ko‘rsataylik. Buning uchun 

x

x

x

f

sin

)

(



 funksiyani qaraymiz. Bu funksiya 0 

nuqtada  aniqlanmagan,  ammo,  uning  yaqin  atrofida    mavjud  va    juft  funksiyadir. 

Demak,  x>0  holni  qarash  yetarlidir. Undan tashqari, x



0 ekanligidan 

)

2

;

0

(





x

 

deb olsak bo‘ladi. 

 

Dastlab, 

1

cos

lim

,

0

sin

lim

0

0









x

x

x

x

  ekanligini  isbotlaylik. Buning uchun  birlik 

doira olib (9.5.1-rasm), x  markaziy  burchak 

)

2

;

0

(



 oraliqda bo‘lsin deylik. U vaqtda 

AB  yoy  uzunligi  radianlarda  ifodalangan  x    markaziy  burchak  o‘lchoviga  tengdir. 

9.5.1-  rasmdan  ko‘rinadiki,  BD  kesma  sinx  ga,  AC  esa  tgx  ga  teng  bo‘lib, 

B

A

AB

BD









0

 o‘rinlidir. Bundan  

 

 

 

 

  

x

x





sin

0

 

kelib  chiqadi.  Bu  tengsizliklardan  va  limitning  mavjudligi  haqidagi  ikkinchi 

teoremadan   

0

sin

lim

0







x

x

  ni olamiz. Funksiyaning toqlik xossasiga ko‘ra  

0

sin

lim

0







x

x

  

va olinganlar asosida  

0

sin

lim

0





x

x

 ga ega bo‘lamiz. 

 

Endi, 

 

 

 

 

 

2

sin

2

1

cos

2

x

x





 

ekanligini e’tiborga olsak,  

 

1

0

2

1

2

sin

2

1

lim

cos

lim

2

2

0

0































x

x

x

x

 

А 



 



 



 



 

С 

В 

D 

x 

1 

0 



 

9.5.1- rasm 

kelib chiqadi. 

 

9.5.1- rasmdan 



OAB, 



OAC va OAB  

sektor yuzlari uchun  

 

 

 

OAC

AB

sektor

OAB

S

S

S









О

 

o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. 

.

2

1

2

1

,

2

1

2

1

,

sin

2

1

sin

2

1

2

tgx

AC

OA

S

x

x

OA

S

x

x

OB

OA

S

OAC

sektOAB

OAB





















 

Yuqoridagi tengsizliklarda bularni va 















2

;

0



x

 ni hisobga olsak, 

 

2

2

2

sin

tgx

x

x





 

ni, bundan 

 

 

 

 

 

x

x

x

cos

1

sin

1





 

ni olamiz va, nihoyat, 

 

 

 

 

 

1

sin

cos





x

x

x

 

ga ega bo‘lamiz. Oxirgida   

1

cos

lim

0





x

x

 ni hisobga olib  

0





x

 dagi limitga o‘tsak, 

 

 

 

 

 

1

sin

lim

0







x

x

x

 

kelib chiqadi. Funksiyaning juftligidan 

 

 

 

 

 

1

sin

lim

0







x

x

x

 

ekanligi ham kelib chiqadi. Bulardan birinchi ajoyib limit deb ataluvchi (9.5.1) ning 

o‘rinli ekanligiga kelamiz.  

Misollar. 

 

.

1

1

1

1

sin

cos

1

lim

lim

)

2

;

1

sin

lim

sin

lim

sin

lim

)

1

0

0

0

0

0











































 













x

x

x

x

tgx

k

k

kx

kx

k

kx

kx

k

x

kx

x

x

x

x

x

 

 

9.5.2.  Ikkinchi ajoyib limit 

Avvalo,   



























 

n

n

1

1

  ketma-ketlikning  limiti  mavjud  ekanligini  isbotlaymiz.   

Umumiy hadlari mos ravishda  

n

n

n

x











 



1

1

 va  

1

1

1













 



n

n

n

y

 bo‘lgan  

 

n

x

  va  

 

n

y

 

ketma-ketliklarni olsak, ular orasida  











 



n

x

y

n

n

1

1

  bog‘lanish bordir. 

Endi,  

 

n

y

  ketma-ketlikni tekshiramiz. 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1















 







n

n

n

n

y

 

ekanligi  ravshandir.  Demak, 

 

n

y

    quyidan  chegaralangan  ketma-ketlik  ekan.  Bu 

ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligini ko‘rsatishda tubandagi tasdiq qo‘l keladi.  

Lemma  (Bernulli). 

N

m



  va   

1







  bo‘lganda   









m

m







1

1

  tengsizlik 

o‘rinlidir. 

Isbot.  Matematik induksiya uslubidan foydalanamiz: 

 



















1

1

1

)

1

1

m

o‘rinli; 

 

k

m



)

2

   uchun   









k

k







1

1

  tengsizlik o‘rinli deb faraz qilaylik; 

3) U holda, 

0

1







 ni hisobga olsak, 







 

 













,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

































































k

k

k

k

k

k

k

k

 

ya’ni   

1





k

m

    uchun  ham  tengsizlik  o‘rinli  ekanligi  kelib  chiqadi.  Lemma 

isbotlandi. 

Eslatma.   Agar 

1



m

 va  

1

,

0











  bo‘lsa, 









m

m







1

1

  o‘rinli bo‘ladi. 

Endi,  

1



n

n

y

y

  nisbatni olsak, 

















,

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

























 





































































































































 















n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

y

n

n

n

n

n

n

n

 

ya’ni   

1

1

1











n

n

n

n

y

y

y

y

.  Bundan   

 

n

y

    kamayuvchi  ketma-ketlik  ekanligi  kelib 

chiqadi. 

Demak, 

 

n

y

    kamayuvchi  quyidan  chegaralangan  ketma-ketlik  sifatida, 

limitning mavjudligi haqidagi birinchi teoremaga asosan, chekli limitga egadir. 

Endi, 

 

 

 

 

 

n

y

x

n

n

1

1





 

ekanligidan 

 

 

 

 

,

lim

1

lim

1

1

lim

lim

lim

n

n

n

n

y

y

n

y

x















 



 

ya’ni  

 

n

x

 ketma-ketlik ham 

 

n

y

 limitiga teng limitga ega ekanligi kelib chiqadi, uni 

e bilan belgilanadi va e soni deb ataladi. 

 

Demak, e soni, uning ta’rifi bo‘yicha, 

 

 

 

 

 

n

n

e











 



1

1

lim

 

dan iboratdir. Bu son irratsional,  (2;3) oraliqga tegishli bo‘lib, 

 

 

 

 

e=2,7182818284459045… . 

 

Matematik analizda, 

 

 

 

 





e

x

x

x







1

0

1

lim

  yoki   

e

x

x

x













 





1

1

lim

 

ikkinchi ajoyib (muhim) limit deb yuritiladi.  

Yuqoridagi  munosabatlar  biridan  ikkinchisi  cheksiz  katta  miqdorning  teskari 

qiymati cheksiz kichik ekanligidan bevosita kelib chiqadi. 

 

Endi,  

 

 

 

 

 

e

x

x

x













 





1

1

lim

 

ekanligini  isbotlaylik.  Buning  uchun,  avvalo, 





x

  bo‘lgan  holni  qaraymiz.  Bu 

holda,  

1



x

  desak, har bir bunday x uchun shunday n natural son topiladiki, 

 

 

 

 

 

1







n

x

n

 

o‘rinli bo‘ladi. Oxirgidan 

 

 

 

 

n

x

n

1

1

1

1

1

1

1

1















 

ni olamiz. Bundan esa, 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1













 













 



















n

x

n

n

x

n

 

kelib chiqadi. 

 

 

e

e

n

n

n

e

e

n

n

n

n

n

n

n

















 













 













 















































1

1

1

1

1

lim

1

1

lim

,

1

1

1

1

1

1

1

lim

1

1

1

lim

1

1

 

ekanligidan  va 











x

n

  bo‘lishini  hisobga  olsak,  limitning  mavjudligi 

haqidagi ikkinchi teoremaga asosan,  

 

 

 

 

 

e

x

x

x













 





1

1

lim

 

kelib chiqadi. 

Endi,   





x

    bo‘lgan  holni  qarasak  va 

y

x





    almashtirish  qilsak, 

quyidagilarni olamiz: 

 

 

 























1

y

y

x

 

 

e

e

y

y

y

y

y

y

y

y

x

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

x

x









































































































 





























 

































1

1

1

1

1

1

1

lim

1

1

1

lim

1

lim

1

lim

1

1

lim

1

1

lim

1

1

 

Shunday qilib, ikkinchi ajoyib limit isbotlandi. 

Misol.  Ushbu  

N

m

e

x

m

m

x

x















 





,

1

lim

 limitning to‘g‘riligini ko‘rsating. 

.

0

;

1

1

lim

1

lim

1

lim

1

lim

1

0

1



















































 































 













 













 



























x

x

m

e

x

m

x

m

x

m

m

m

m

m

x

x

m

m

m

x

x

x

x

 

Eslatma.   Matematik analizda asosi e sonidan iborat bo‘lgan ko‘rsatkichli va 

logarifmik  funksiyalar  aloxida  ahamiyatga  egadir.  Masalan,  e  asosli  logarifmlar 

maxsus 

 

 

 

 

 

a

a

e

ln

log



 

belgilashga ega bo‘lib, uni natural logarifm deb yuritiladi. 

 

 

  Adabiyot 

 

1. Т.  Жщраев  ва  бошыалар.  Олий  математика 

асослари. Т. «Щзбекистон», 1995 й. I ыисм. 

2. Ё.  У.  Соатов.  Олий  математика.  Т.  «Щыитувчи», 

1994 й. I ыисм. 

3. Я.  С.  Бугров,  С.  М.  Никольский.  Элементы 

линейной  алгебры  и  аналитической  геометрии.  М. 

«Наука», 1990 г.  

4. А.Г.  Курош.  Курс  высщей  алгебры.  М.  «Наука». 

1971 г. 

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и 

линейной алгебры. – М.: Наука,1984 г. 

6. Фихтенголpц Г.М. Дифференциал ва интеграл 

ъисоб курси. I том. Т. 1951 й. 

7. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического 

анализа. I том. М. 1966 г. 

8. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей 

математике. I том. М. 1973 г.   

9. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные 

дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1970г. 

10. 

Ы. Бойыщзиев. Дифференциал тенгламалар. Т. 

«Щыитувчи» 1983й. 

11. Н.С Пискунов дифференциалные и интегралное 

исчисление  для  

ВТУЗ ов. М. Наука, в 2 х частях, 1985 г.