O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Ta'rif 1.1.1. Berilgan (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalaning spektral funksiyasini topish va uning xossalarini o'rganish masalasiga spektral analizning to'g'ri masalasi deyiladi. Aksincha, (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalani, o'zining spektral funksiyasi bo'yicha tiklashga, spektral analizning teskari masalasi deyiladi.
Teskari masalalar nazariyasining asosiy muammolaridan birinchisi, bu yagonalik, ikkinchisi mavjudlik va nihoyat uchinchisi spektral funksiya bo'yicha (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalaning koeffitsiyentini, hamda (1.1.2) chegaraviy shartni qurish algoritmidan iborat. Bu muammolarning uchalasi ham o'ziga yarasha ancha murakkab bo'lib, ulardan birinchisi, ya'ni yagonalik masalasi ilk bor 1950-yilda V.A.Marchenko [105] tomonidan yechilgan.
Teorema 1.1.1. (V.A.Marchenko) Agar funksiya ushbu

chegaraviy masalaning biror spektral funksiyasi, funksiya ushbu

chegaraviy masalaning biror spektral funksiyasi bo 'lib, ular uchun

shart bajarilsa, u holda va tengliklar o'rinli bo 'ladi. Bu yerda .
Spektral analiz teskari masalasining keyingi ikki muammosi 1951-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan [37] tomonidan hal qilingan.
Teorema 1.1.2. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan) Monoton o'suvchi funksiya (1.1.1)-(1.1.2) ko'rinishdagi koeffitsiyentli biror chegaraviy masalaning spektral funksiyasi bo 'lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:
I. Ushbu

funksiyalar ketma-ketligi biror funksiyaga chegaralanib yaqinlashadi, hamda funksiya oraliqda marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lib, ctg tenglik o'rinli.
Bu yerda

II. Ixtiyoriy silliq finit funksiya uchun

tenglikdan kelib chiqadi. Bunda

Ayrim muhim xususiy hollarda (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalaning spektrini va spektral funksiyasini batafsil o'rganish mumkin bo'ladi. Bunday hollardan bittasi (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalada - haqiqiy funksiya quyidagi

shartni qanoatlantiruvchi bo'lgan hol.
Qaralayotgan holni batafsilroq o'rganamiz.