O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

YARIM O'QDA BERILGAN SHTURM-LIUVILL TENGLAMASI UCHUN SOCHILISH NAZARIYASINING TO'G'RI VA TESKARI MASALALARI
1-§. Zarur ma'lumotlar
Ushbu kitobning kirish qismida aytilganidek, yarim o'qda berilgan ikkinchi tartibli differensial operatorning spektral nazariyasi ilk bor 1909-1910 yillari G.Veyl [31] tomonidan o rganilgan.
Bu paragrafda, zamonaviy matematik fizikaning ayrim muammolarini o'rganish jarayonida paydo bo'lgan differensial operatorlar spektral nazariyasining yangi masalalari, jumladan, spektral analizning teskari masalalari haqidagi zaruriy ma'lumotlarni bayon qilamiz.
O'quvchilarga qulaylik uchun, avvalo G.Veyl teoremasini isbotsiz keltirib o 'tamiz. Hozirgi kunda bu teorema isbotining har xil usullari bor. Bu usullar ichida eng oddiysi B.M.Levitan [90] tomonidan taklif qilingan usuldir.
Aytaylik, bizga ushbu

ko'rinishdagi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi (operatori) berilgan bo' . Bu yerda - haqiqiy, har bir chekli intervalda jamlanuvchi funksiya, - ixtiyoriy parametr, esa ixtiyoriy haqiqiy son. Berilgan (1.1.1) tenglamaning quyidagi

boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda orqali belgilaymiz. holda

tengliklar o'rinli bo'ladi.
Kvadrati bilan intervalda Lebeg ma'nosida jamlanuvchi funksiyalar fazosini orqali belgilaymiz.

1. 
   Haqiqiy bo'lmagan parametrning barcha qiymatlarida (1.1.1) tenglamaning fazoga qarashli
   

yechimi mavjud. Bu tenglikdagi ga Veyl-Titchmarsh funksiyasi deyiladi va u yuqori (quyi) yarim tekislikda analitik bo'lib, ushbu

munosabatlarni qanoatlantiradi.

2. 
   Umuman olganda berilgan uchun yagona emas.
   

Agar funksiya yagona bo'lsa, u holda nol nuqtadagi (1.1.2) chegaraviy shart operator uchun qo'yilgan chegaraviy masalani yagona aniqlaydi.
Agar funksiya yagona bo'masa, u holda operator uchun qo'yilgan nol nuqtadagi (1.1.2) chegaraviy shartdan tashqari, cheksiz uzoqlashgan nuqtada ham chegaraviy shart qo'yishga to'g'ri keladi.
3. Faraz qilaylik, ushbu


chegaraviy masalalarga va Veyl-Titchmarsh funksiyalari mos kelsin. U holda

formula o'rinli bo'ladi.
4. operator uchun qo'yilgan (1.1.1)-(1.1.2) ko'rinishdagi har bir chegaraviy masala uchun shunday kamaymaydigan funksiya topilib,

tenglik bajariladi. Bu yerda funksiyaning uzluksizlik nuqtalari. Bundan tashqari, quyidagi

yoyilma formulasi va

Parseval tengligi o'rinli bo'ladi. Bu tenglikdagi funksiyaga (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalaning spektral funksiyasi deyiladi.
Agar spektral funksiya biror nuqtaning kichik atrofida o'zgarmas bo'lsa, ga regulyar nuqta deyiladi, regulyar bo'lmagan nuqtalar to'plami spektr deyiladi va bilan belgilanadi. Spektral funksiya umuman olganda yagona emas.
Yuqorida berilgan (1.1.1)-(1.1.2) chegaraviy masalaga mos keluvchi spektral funksiya uchun B.M.Levitan va V.A.Marchenko [104] tomonidan olingan asimptotikani ham isbotsiz keltirishni joiz deb hisoblaymiz.
Agar bo'lsa,

agar bo'lsa,