O‘zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsusta’lim vazirligi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUSTA’LIM VAZIRLIGI
AJINIYOZ NOMIDAGI NUKUS DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
Magistratura bo’limi
«Fizika-Matematika» fakulteti « Matematika o’qitish metodikası» kafedrasi

70110601 - «Aniq va tabiiy fanlarni o’qitish metodikasi »

(matematika) ta’lim yo’nalishining 1-kurs magistranti
«Chiziqli tengsizliklar sistemasi.Simpleks usuli»
nomli

K U R S I S H I

Ilimiy rahbar: Kalekeeva Tamara

Bajardi:

Nukus-2022 y

Kirish ……………………………………………………………………… 3

1-§. Xamjoyli va xamjoyli bulmagan chizikli tengsizliklar sistemalari …... 4
2-§. Chizikli programmalash ……………………………………………….10
3-§. Simpleks usul ………………………………………………………… 14
4-§. Simpleks jadvallar ……………………………………………………. 19
5-§. Simpleks usulining tatbiqlari …………………………………………. 26
6-§. Xulosa ………………………………………………………………… 29
Foydalanilgan adabiyodlar ………………………………………………… 31

Kirish
Mavzuning dolzarbligi: Chiziqli dasturlash masalasi.Matematik modelli chiziqli dasturlash masalasi uchun yechim,uni topishda geometric usul chiziqli dasturlash masalasi uchun ehizak masalasi,uning iqtisodiy tahlili,ikkilangan sharti. Chiziqli dasturlash – birinchi va puxta o’rganilgan matematik dasturlash bo’limlaridan biri.Bu “matematik dasturlash” fanining o’zi rivojlana boshlangan chiziqli dasturlash edi. chiziqli dasturlash ikkinchi jahon urushidan keyin paydo bolgan va atematiklar, iqtisodchilar va muhandislarning e’tiborini keng amaliy qo’llash imkoniyati va matematik uyg’unlik tufayli jalb qildi va tez rivojlana boshladi

Chiziqli dasturlash masalasi.Haqiqiy olamning chiziqli tasviri gipotezasiga asoslanishi mumkin bo’lgan chiziqli dasturlash o’sha jarayonlar va tizimlarning matematik modellarini yechishda qo’llaniladi. Chiziqli dasturlash iqtisodiy muammolarni yechishda masalan, boshqaruv va ishlab chiqarishni rejalashtirishda ishlatiladi; uskuna kemalarga,ustaxinalarga optimal joylashtirishni aniqlash vazifalarida; ramkalarni optimal taqsimlash muommolarida va boshqalar. Chiziqli dasturlash muammosi yuqorida aytib o’tilganidek, chiziqli funksiyaning minimal yoki maksimal qiymatini chiziqli cheklovlari ostida topishdir.Chiziqli dasturlash bu matematik dasturlashning eng rivojlangan va keng qo’llaniladigan qismidir bundan tashqari ichiga kiradi: butun, dinamik, nochiziqli,parametrik dasturlash. Chiziqli dasturlash masalalarini yechishning quyidagi usullari bor; Grafik usuli,Simpleks jadval usuli, sun’iy ba’zis usuli, va ko’plab usullari bor
Ma’lumki matematika fani iqtisodiyotni jadal rivojlanishiga katta hissa qo’shadi shuning uchun ham muhtaram Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev “Matematikasiz kelajak yoq” deya e’tirof etdilar matematika fanini yana ildiz otishi uchun qator islahatlar amalga oshirildi bunga misol sifatida 2017 yili 1-noyabrdagi PQ-3365 son qaroriga muvofiq 2020- yilda Matematika fanini rivojlantirish va O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining V.I.Romanoviskiy nomidagi Matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tatbirlari to’g’risida institutni capital ta’mirlash uchun tasdiqlangan shuningdek,uning moddiy-texnik bazasini mustahkamlash to’g’risida taklifga rozilik berilgani bunga yaqqol misoldir. Matematika faniga hissa qo’shib kelayotgan koplab, matematik olimlarning chiqarayotgan kitoblari ularning tinimsz mehnatlarining mahsuli sifatida ,biz yoshlar bulardan unimli foydalanib har bir o’rganayotgan narsalarimizni kelajakda foydasi tegadigan qilib ishlashimiz zarur deb o’ylayman.

1-§. Xamjoyli va xamjoyli bulmagan chizikli tengsizliklar sistemalari

Maktab matematika kursida uchraydigan baʼzi bir tengsizliklarni yechish masalasi koʼpincha chiziqli tengsizliklar sistemasini yechishga keltiriladi. Bundan tashqari hozirgi kunda eng muhim ahamiyatga ega boʼlgan iqtisodiyot masalalarini hal etish uchun ham qandaydir chiziqli tengsizliklar sistemasini yechishga toʼgʼri keladi. Shuning uchun endi biz shu mavzuning boshlangʼich tushunchalarini bayon etishga oʼtamiz. R haqiqiy sonlar maydoni ustidagi n ta nomaʼlumli chiziqli tengsizlik deb ushbu
(1)
ko’rinishdagi ifodani ataymiz.
(1) da – noma`lumlar va esa koeffitsientlar deyiladi.
qiymatda (1) tengsizlikni bir jinsli, qiymatda (1) tengsizlikni bir jinsli bo’lmagan tengsizlik deyiladi.
Endi, R haqiqiy sonlar maydoni ustidagi n ta noma`lumli m ta

(2)
chiziqli tengsizliklar sistemasiga murojaat qilamiz, bu yerda va sistemani tashkil etuvchi tengsizliklarning soni m uchun mn lardan biri bo’lishi mumkin.
(2) sistemasining hamma tengsizliklarini qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar bu sistemaning bitta ( yechimini tashkil etadi. Masalan, haqiqiy sonlar maydoni ustidagi

sistemasi uchun (4, 2, 5, 1) yechim bo’lib xizmat qiladi, chunki

1 – ta`rif. (2) sistemani tashkil etuvchi tengsizliklarning hammasi bir jinsli bo’lsa, sistema ham bir jinsli deyiladi. (2) dagi tengsizliklarning kamida bittasi bir jinsli bo‘lmasa, u holda (2) sistema bir jinsli bulmagan sistema deb ataladi.
2 – ta`rif. Kamida bitta yechimga ega bo‘lgan (2) sistema hamjoyli sistema, bitta ham yechimga ega bulmagan (2) sistema hamjoyli bulmagan sistema deyiladi.
3 – ta`rif. (1) tengsizlik bitta ham yechimga ega bo‘lmasa, u ziddiyatli tengsizlik deb ataladi. Ziddiyatli tengsizlik
(3)
ko’rinishda bo’ladi.
4 – ta`rif. (2) sistemaning istalgan ( yechimi
(4)
tengsizlik uchun ham yechim bo‘lsa, u holda (4) ga (2) ning natijasi deyiladi.
(2) sistemaning birinchi tengsizligini songa, ikkinchisini songa …, m -sini songa ko’paytirib, ularni hadma-had qo’shamiz. U holda

tengsizlik hosil boladi.
(5) tengsizlik (2) sistemaning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
(5) tengsizlik (2) sistemaning natijasi buladi, chunki (2) ning istalgan (
yechimi (5) ni qanoatlantiradi:

Agar berilgan tengsizlar sistemasi hamjoyli bo’lmasa, bu sistema, ustida bajarilgan elementar almashtirishlar natijasida ziddiyatli tengsizlik hosil bo’ladi.
Masalan,

sistema tengsizliklarini mos ravishda, 2, 3, 1 sonlarga ko’paytirib, hadma- had qo’shsak, ziddiyatli tengsizlik hosil bo’ladi.
5 – ta`rif. Bir xil noma`lumli ikkita hamjoyli tengsizliklar sistemasidan birining istalgan yechimi ikkinchisi uchun ham yechim bo’lsa, yoki ikkala sistema ham hamjoysiz sistema bo’lsa, ular teng kuchli sistemalar deyiladi.

chiziqli tengsizliklar sistemasi berilgan bo‘lsin.
T a ʼ r i f. Chiziqli tengsizliklar sistemasidan nomaʼlumlar sonini bittaga kamaytirib tuzilgan yangi sistemani berilgan sistemaga yo’ldosh sistema deyiladi.
(S) sistemaning ixtiyoriy bitta tengsizligini tekshiramiz:

Agar (6) bo’lsa, bu tengsizlikni o’zgarishsiz qoldiramiz. Agar bo’lsa, u holda hadni o’ng tomonga o’tkazamiz va tengsizlikning ikkala tomonini musbat songa bo’lamiz. Natijada

tengsizlikka ega bo’lamiz. Agar (6) da bo’lsa, dan boshqa barcha qo’shiluvchilarni tengsizlikning o’ng tomoniga o’tkazamiz va ikkala tomonini songa bo’lamiz. Natijada

tengsizlik hosil bo’ladi.
Demak, berilgan sistemaning har bir tengsizligini musbat songa ko‘paytirib, tegishli almashtirishlardan keyin berilgan sistemaga teng kuchli quyidagi sistemani hosil qilamiz:

(T) da , ,…, , , …, , , …, larni

ko’rinishdagi ifodalardir.
Agar (S) sistemada (6) ko‘rinishdagi tengsizlik bo‘lmasa, u holda (T) sistemada birinchi blok bo‘lmaydi. Shuningdek, agar (S) da ko‘rinishdagi tengsizlik bo‘lmasa u holda (T) sistemada ikkinchi blok bo‘lmaydi. Agar (S) sistemada ko‘rinishdagi tengsizlik bo‘lmasa (T) sistemada uchinchi blok bo‘lmaydi.
(T) sistema bilan bir vaqtda ta noma`lumli quyidagi tengsizliklar sistemasini tekshiramiz:

bunda bo’ladi. sistemada ta tengsizliklar mavjud. sistema ga nisbatan yo’ldosh sistema bo’lib, u (T) sistemaga teng kuchli sistema bo’ladi. Agar (T) sistemada birinchi va uchinchi bloklar yoki ikkinchi va uchinchi bloklar bo’lmasa, u holda yo’ldosh sistema hosil bo’lmaydi.
Endi berilgan va yo‘ldosh sistemalar yechimlari orasidagi bog‘laiishni ko‘raylik.
Teorema. Agar (S) sistemaning ixtiyoriy yechimidan nomaʼlumning qiymatini chiqarsak, u holda (S') yo’ldosh sistemaning biror yechimi hosil bo’ladi, aksincha (S') yo’ldosh sistemaiing ixtiyoriy yechimi uchun nomaʼlumning shunday qiymatini topish mumkinki, uni (S') ning yechimiga kiritilsa, berilgan (S) sistemaning yechimi hosil buladi.
Isboti. (S) sistemasing yechimi ( terim bo’lsa, u (T) sistemani ham qanoatlantiradi. Demak, u terim sistemaning barcha tengsizliklarini ham qanoatlantiradi. Teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. sistemada tengsizlik bajarilsin. sonlar sistemaning biror yechimi bo’lsin. Bu yechimni , ,…, , , …, , , …, ifodalarga qo’ysak, sonlar hosil bo’ladi. bu sonlar uchun tengsizlilar bajariladi. Ixtiyoriy son ixtiyoriy sondan katta emas.
Shuning uchun shunday son topiladiki, u tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, sonlar (T) sistemaning yechimi bo‘ladi. Shuning uchun bu sonlar sistemasi (S) sistemaning ham yechimi bo‘ladi. Endi yo’ldosh (S') sistema faqat tengsizliklardan iborat bo‘lsin, yaʼni (S') sistemada birinchi, ikkinchi bloklar bo‘lmasin. (T) sistemada birinchi blok bo‘lmasin. U holda sonni tengsizliklarni qanoatlantiradigan shartga asosan tanlab olamiz. Agar (T) sistemada ikkinchi blok bo‘lmasa, tengsizliklarni qanoatlantiradigan sonni tanlab olamiz. Agar (T) sistemada birinchi va ikkinchi bloklar mavjud bo‘lmasa, u holda o’rniga ixtiyoriy sonni tanlab olamiz.
1-natija. Chiziqli tengsizliklar sistemasi (S) ning hamjoyli bo‘lishi uchun unga yo‘ldosh (S') sistemaning hamjoyli bo‘lishi zarur va yetarli.
2-natija. Berilgan (S) sistemaning barcha yechimlari (S') yo‘ldosh sistemaning har qanday yechimiga va tengsizliklarni qanoatlantiradigan ixtiyoriy sonni birlashtirishdan hosil bo’ladi.
Endi nomaʼlumlar sonini ketma-ket kamaytirish yo‘li bilan (S) sistemani yechish usulini ko‘raylik.
noma`lumli chiziqli tengsizliklarning ixtiyoriy sistemasi uchun yo’ldosh sistemani tuzdik. sistemada lar noma`lumlar bo’ladi. sistemasi uchun noma`lumlari bo’lgan yo’ldosh sistemani tuzamiz. Shu jarayonni davom ettirib, bir necha qadamdan keyin bitta nomaʼlumga ega bo‘lgan sistemaga kelamiz. 2- natijaga asosan (S) sistetema hamjoyli bo‘lishi uchun sistema hamjoyli bo‘lishi zarur va yetarli. Bir nomaʼlumli sistema uchun uning hamjoyli yoki hamjoysiz emasligini ko‘rsatish qiyin emas. Shunday qilib, (S) sistemaning hamjoyli yoki hamjoyli emasligini hisoblash usulini topdik. (S) sistema hamjoyli bo‘lsin, u holda uning barcha yechimlarini topish uchun (S'), (S"), . . . , sistemalarni tuzish kerak.
Ta`rif. (S) sistemada birinchi k ta nomaʼlumning qiymatlari berilgan va uni (S) sistemaning biror yechimigacha to‘ldirish mumkin bulsa, yaʼni

sonlar mavjud bo’lin, sistema (S) sistemaning yechimi bo’lsa, u holda (7) sistemaga qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar deyiladi.
(S'), (S"), (S'") va h. k. sistemalar tuzilgan bo‘lsa, quyidagi imkoniyatlarga ega bo‘lamiz:
1) nomaʼlumning barcha qabul qiladigan qiymatlarini dan topish;
2) qiymat uchun uning bilan birgalikda nomaʼlumning qiymatlarini dan topish;
3) sonlar bilan birgalikda nomaʼlumning barcha qiymatlarini dan topish va hokazo.
Teorema. Chiziqli tengsizliklar sistemasi hamjoysiz bulishi uchun bu tengsizliklarning biror chiziqli kombinatsiyasi ziddiyatli tengsizlik bulishi zarur va yetarli.
Isboti. Tengsizliklarning hamjoysiz sistemasidan hamma vaqt ziddiyatli tengsizlik tuzish mumkin ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun quyidagi lemmani isbotlaymiz.
Lemma. Yuldosh sistemaning har bir tengsizligi berilgan tengsizliklar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi.

2-§. Chizikli programmalash

Chiziqli programmalash matematikaning shunday boʼlimiki, u bir nechta oʼzgaruvchili f chiziqli funktsiyaning (chiziqli formaning) eng katta (maksimum) yoki eng kichik (minimum) qiymatini topish usullari bilan shugʼullanadi. f funktsiya tarkibidagi oʼzgaruvchilar, chiziqli tenglamalar yoki chiziqli tengsizliklar sistemasining nomaʼlumlarini ifodalaydi va f funktsiya oʼzgaruvchilarining qiymatlari shu sistemaning mos ravishda tanlangan manfiymas yechimi bilan aniqlanadi. Chiziqli programmalash usullarini qo‘llab yechiladigan masalalardan quyida baʼzi birlarini ko‘rib o‘taylik.
I. Transport masalasi. ko’mir konlarida har oyda mos ravishda tonnadan ko’mir qazib chiqariladi. Bu ko’mir korxonalarga yetkazib berilib, bu korxonalarning ko‘mirga har oydagi talabi mos ravishda tonnani tashkil etadi. Bir tonna kumirni kondan korxonaga yetkazib berish xarajatlari so’mni tashkil etadi
Masala quyidagicha qo‘yiladi: ko‘mirni konlardan korxonalarga tashishning umumiy xarajati eng arzon narxda (eng kichik — minimum) bo‘lsin.
Konlar har oyda qazilgan ko‘mirni sotishga manfaatdor bo‘lganligi sababli qazilgan ko’mir miqdori sotilgan miqdorga teng deb hisoblash tabiiydir.
konda korxonaga keltirilgan ko’mirni tonnada desak, ko’mir tashish rejasi quyidagi jadval bo’yicha bo’ladi:

				Hamma jo’natilgan ko’mir
Hamma keltirilgan ko’mir

konlardan korxonalarga jo’natilgan ko’mir miqdori

bo’lib, lardan larga keltirilgan ko’mir miqdori esa

bo’ladi.