Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

Постановка задачи. В этом разделе мы даем основные сведения о теории рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля. Для удобства мы временно опускаем пере- менную t от функций v(x,t) и u(x,t) .
Рассмотрим следующий квадратичный пучок уравнений Штурма-Лиувилля
T (0, k) y :  y^''  v(x) y  2ku(x) y  k ² y  0, х  (5)

где
u(x) и v(x) ‒ вещественные функции, удовлетворяющие условию (3). При условии

(3) уравнение (5) для всех k из полуплоскости Imk  0 имеет решения
f_ (x, k),
f_ (x, k) , кото-

рые регулярны в полуплоскости Imk  0 и справедливы асимптотические формулы

f_ (x, k)  e^ikx[1 o(1)],
f_ (x, k)  e^ikx[1 o(1)],
x   , (6)
x   . (7)

Для вещественных k  0 пары
f_ (x, k),
f_ (x, k) и
f_ (x, k ),


f_ (x, k )
(черта над функцией

здесь и далее обозначает комплексное сопряжение) образуют две фундаментальные системы ре- шений уравнения (5). Имеют место следующие соотношения
f_ (x, k)  b(k) f_ (x, k)  a(k) f_ (x, k) , (8)
f_ (x, k)  b (k) f_ (x, k)  a(k) f_ (x, k) . (9)

Функции a(k )
щие равенства
и b(k ) определены для всех k  R^*  (, ) \{0} и выполняются следую-

1
^{a(k)   W}  ^f
2ik
_ ^{, f}^,
1

 _
b(k) W f
2ik
_ , f_,
(10)

При этом функция a(k )
допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Imk  0

и может иметь не более чем конечное число нулей
k₁, k₂ ,..., k_N
, кроме того, при


k  k_n , n  1, 2,..., N
имеет место следующее равенство:

n n
f (x, k
)  B^ f
(x, k_n ) ,

¹ Максудов Ф.Г., Гусейнов Г.Ш. О решении обратной задачи рассеяния для квадратичного пучка одномер-
ных операторов Шрёдингера на всей оси. ДАН СССР, 1986, т. 289, №1, с. 42 ‒ 46.
² Бабажанов Б.А., Хасанов А.Б. Обратная задача для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля с конечнозонным периодическим потенциалом на полуоси. Дифференциальные уравнения. 2007, т. 1, № 43, с. 723 ‒ 730.
³ Бабажанов Б.А., Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Об обратной задаче для квадратичного пучка операто-
ров Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом. Дифференц. уравнения, 2005, т. 41, № 3, с. 298 – 305.

где величины
B^{ не зависят от} x ^{. Соответствующие функции}
f_ (x, k_n )
являются собст-

n
венными функциями. В формуле (10) через W ( f , g) обозначен вронскиан функций f и g .
Набор величин

^ b(k)
r (k)  , k  R, k , k ,..., k
, ^ , ^ ,..., ^{ }
(11)


^{ } a(k)
и
1 2 N 1 2 N ^



^ b (k)
r (k)   , k  R, k , k ,..., k
,  ^, ^,..., ^{ }

(12)


^{ } a(k)
1 2 N 1 2 N ^



называются левыми и правыми данными рассеяния уравнения (5) соответственно, здесь

 ^ 


B
ⁿ , n
 1, 2,..., N . Функции r (k) и r (k) называются левым и правым коэффициен-

n  
тами отражения соответственно.
Теперь перейдем к вопросу о построении u(x) и v(x) по данным рассеяния (11) или (12). Для восстановления коэффициентных функций u(x) и v(x) в уравнении (5) по правому коэф- фициенту отражения r_ (k) поступим следующим образом:

1. 
   необходимо найти функцию F_ (x) по формуле
   

_N  ₁ 

n

2
F_ (x)  i_ ^e ^iknx 
n1
_ ^r_ ^(k)eikxdk . (13)


и решить относительно K ⁽⁰⁾ (x, y)  L (x, ) , K ⁽¹⁾ (x, y)  L (x, ) интегральные уравнения
 1  1






 
F_ (x  y)  K ⁽⁰⁾ (x, y)  _ K ⁽⁰⁾ (x, t)F (t  y)dt  0,
x
x  y   , (14)





 
iF_ (x  y)  K ⁽¹⁾ (x, y)  _ K ⁽¹⁾ (x, t)F (t  y)dt  0,
x
x  y   . (15)

2. 
   далее определим функцию _ (x) как решение нелинейного интегрального уравнения ти- па Вольтерра
   

в котором

_ (x)  _(t,_ (t))dt,
x
^{   x  } ,

^Φ^{t, z}  ^{ Re K 0} ^t,t  ^{ m K 1} ^t,t ^{sin2z  2 Re K 1} ^t,t ^{sin2z  2 Im K 0} ^t,t ^cos2z

_  
  ^
  ^ 

и
^K  ^{x, y} ^{ K 0}  ^{x, y}^cos  ^x ^{ K 1}  ^{x, y}^sin  ^x^.

    

3. 
   после этого коэффициенты u(x) и v(x) уравнения (5) определяются равенствами
   

u(x)  _^ (x) ,

v(x)  u² (x)  2 ^d _Re K
^{(x, x)}^{cos (x) }^{Im K (x, x)}^sin
(x)_ . (16)

dx

Следует отметить, что функции
   

^ da(k)
h (x)  _
1 _d


_ [ f

(x, k)  B^ f (x, k)]

(18)

ⁿ _ dk
k k_{n } ^dk
n 
k k_n

являются решениями уравнений T (k
) y  k ² y, n 1,2,..., N . Для Imk  0 , используя

6. 
   
   n n
   и (7), мы получим следующую асимптотику
   

n
h (x)  e^{ikn x} ,


x   , (19)

n n
h (x)  B^e^{ikn x} ,
Из асимптотик (6), (7), (19) и (20) следует
x   . (20)

W{h_n (x), f_
(x, k
_n )}  2ik_n ,
W{h_n (x), f_
(x, k
)}  2ik B^

n n n
Эволюция данных рассеяния. В этом разделе мы выводим временную эволюцию данных рассеяния, что позволяет нам предоставить алгоритм решения задачи (1)–(3).
Пусть

 ^v 

U  _{ },
 ^u 
 _^{2 } 

_ 0


L^*  ^
 _x2  4v  2v_{x }

x

d _


^ . (21)

_ 1 4u  2u_{x } d _
 x 

Тогда систему (1) можно переписать следующим образом:

t x
U  L^U  0. (22)
Теперь введем «скалярное произведение»

V (x), W (x)

 _ [V₁(x)W₁(x)  V₂ (x)W₂ (x)]dx


1 2
^{для V (x) } ^{V (x),V (x)}T ^{, вектор-функции}

1

   
Φ _k, x_  _ f
^{k, x} ^f
^{k, x}^{, 2kf}
^{k, x} ^f
_k, x_T ^{, (23)}

2    
Φ _k, x_  _ f _k, x_ f _k, x_, 2kf _k, x_ f _k, x _T , (24)

3

n n
^Φ ^k
, x_  _h
 ^x ^f
^{k , x}^{, 2k h}
 ^x ^f
_k , x_T ^{. (25)}

n n n

n




Основной результат работы содержится в следующей теореме.
Теорема. Если функции v  v(x,t) и u  u(x,t) являются решениями задачи (1)-(4), то

данные рассеяния оператора
T (t, k) меняются по ^t следующим образом
^{dr (t, k)  4ik 2r (t, k)}, (26)

dt ^

d _k dt ⁿ
^t  ^{ 0 , (27)}

d t _{ }

 ( ) ₂

ⁿ 4ik 
^ (t) ^{. (28)}

_dt n n
Докозательство. Легко показать, что

t x
^d a_k,t _  (2ik)^1 U dt
 (L^*)U
, Φ₁ ,
_Imk  0, k  0_ , (29)

t x
^d b_k,t _  4ik ²b(k,t)  (2ik)^1 U dt
 (L^*)U
, Φ₂
, _k 
^* _, (30)

dB^ (t) _

2  1 *

ⁿ 4ik B (t)  (2ik ) U  (L )U , Φ
. (31)

_dt n n n t x 3
Если U (x, t) удовлетворяет (22), то (29), (30) и (31) примут следующий вид

^d a _k,t _  0,