Oʻzbekiston respublikasi оliy va oʻrta maxsus

Kalit so‘zlar: Kaup-Boussinesq sistemasi, Shturm Liuvill operatorlari kvadratik dastasi, teskari spektral masala.
Ключевые слова: система Каупа-Буссинеска, квадратичный пучок операторов Штурма- Лиувилля, метод обратной задачи рассеяния.
Key words: Kaup-Boussinesq system, quadratic pencil of Sturm-Liouville operator, method of the inverse scattering problem.
1. Введение. Нелинейные эволюционные уравнения широко используются в качестве моде- лей для описания сложных физических явлений в различных областях науки, особенно в гидроме- ханике, физике твердого тела, физике плазмы и биологии. Система Каупа-Буссинеска впервые бы- ла изучена в работе.^1,2 В работе³ найдены многосолитонные решения и исследовано асимптоти- ческое поведение этих решений. В работах^4,5 изучаются вещественные конечнозонные регулярные решения системы Каупа-Буссинеска.
В данной работе мы рассмотрим следующую систему Каупа-Буссинеска


_v_t  u_xxx  4vu_x  2uv_x

при начальных условиях
_u_t  6uu_x  v_x
(1)

где функции v₀ (x),

v(x,t)  v₀ (x), u(x,t)  u₀ (x),

t 0 t 0
u₀ (x) удовлетворяют следующим условиям:
^{x } . (2)

(i)
u₀ (x)
абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке _,  _  _, _ и

выполняются неравенства
 
_ ^|u₀ ^{(x) | dx  ,} _ ^{(1 | x |)[| v}₀ ^{(x) |  | u}₀^{ (x) |]dx  } , (3)
 
(ii) оператор

T (0,k) : 
2

^d  ²
₂ v₀(x)  2ku₀(x)  k
dx

имеет ровно 2N простых собственных значений k₁ (0), k₂ (0),..., k_{2 N} (0) . Здесь N ‒нату- ральное число и k спектральный параметр.



¹ Kaup D.J. A Higher-Order Water-Wave Equation and the Method for Solving It, Progress of Theoretical Physics, 1975, vol. 54, pp. 396 ‒ 408.
² Boussinesq J. Theorie de litumescence liquide appelee onde solitarie ou de translation, sepropageant dans un canal
rectangulaire, Comptes Rendus Hebdomadaires des Seance de l’Academie des Sciences, 1871, 72, pp. 755 ‒ 759.
³ Matveev V.B., Yavor M. I. Solutions Presque Periodiques et a N-solitons de l’Equation Hydrodynamique Nonli- neaire de Kaup, Ann.Inst. Henri Poincare, Sect., 1979, № 1, pp. 25 ‒ 41.
⁴ Митропольский Ю., Боголюбов Н., Прикарпатский А., Самойленко В. Интегрируемая динамическая систе- ма: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев, “Наукова Дунка”, 1987, 296 с.
⁵ Smirnov A.O. Real Finite-Gap Regular Solutions of the Kaup-Boussinesq Equation. Theor. Math. Phys. 1986, vol. 66, № 1, pp. 19 ‒ 31.

Основная цель данной работы ‒ получить представления для решений v(x,t) и u(x,t)
за-

дачи Коши (1)–(3) методом обратной задачи рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля

T (t,k) y :  y^''  v(x,t) y  2ku(x,t) y  k ² y  0, х  (4)
В работах,^1,2,3 решена обратная задача рассеяния для квадратичного пучка операторов Штур- ма-Лиувилля (4).