Kalit so‘zlar: Kaup-Boussinesq sistemasi, Shturm Liuvill operatorlari kvadratik dastasi, teskari spektral masala.
Ключевые слова: система Каупа-Буссинеска, квадратичный пучок операторов Штурма- Лиувилля, метод обратной задачи рассеяния.
Key words: Kaup-Boussinesq system, quadratic pencil of Sturm-Liouville operator, method of the inverse scattering problem.
1. Введение. Нелинейные эволюционные уравнения широко используются в качестве моде- лей для описания сложных физических явлений в различных областях науки, особенно в гидроме- ханике, физике твердого тела, физике плазмы и биологии. Система Каупа-Буссинеска впервые бы- ла изучена в работе.1,2 В работе3 найдены многосолитонные решения и исследовано асимптоти- ческое поведение этих решений. В работах4,5 изучаются вещественные конечнозонные регулярные решения системы Каупа-Буссинеска.
В данной работе мы рассмотрим следующую систему Каупа-Буссинеска
vt uxxx 4vux 2uvx
при начальных условиях
ut 6uux vx
(1)
где функции v0 (x),
v( x, t) v0 ( x), u( x, t) u0 ( x),
t 0 t 0
u0 ( x) удовлетворяют следующим условиям:
x . (2)
(i)
u0 (x)
абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке , , и
выполняются неравенства
|u0 (x) | dx , (1 | x |)[| v0 (x) | | u0 (x) |]dx , (3)
(ii) оператор
T (0,k) :
2
d 2
2 v0(x) 2ku0(x) k
dx
имеет ровно 2N простых собственных значений k1 (0), k2 (0),..., k2 N (0) . Здесь N ‒нату- ральное число и k спектральный параметр.
1 Kaup D.J. A Higher-Order Water-Wave Equation and the Method for Solving It, Progress of Theoretical Physics, 1975, vol. 54, pp. 396 ‒ 408.
2 Boussinesq J. Theorie de litumescence liquide appelee onde solitarie ou de translation, sepropageant dans un canal
rectangulaire, Comptes Rendus Hebdomadaires des Seance de l’Academie des Sciences, 1871, 72, pp. 755 ‒ 759.
3 Matveev V.B., Yavor M. I. Solutions Presque Periodiques et a N-solitons de l’Equation Hydrodynamique Nonli- neaire de Kaup, Ann.Inst. Henri Poincare, Sect., 1979, № 1, pp. 25 ‒ 41.
4 Митропольский Ю., Боголюбов Н., Прикарпатский А., Самойленко В. Интегрируемая динамическая систе- ма: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев, “Наукова Дунка”, 1987, 296 с.
5 Smirnov A.O. Real Finite-Gap Regular Solutions of the Kaup-Boussinesq Equation. Theor. Math. Phys. 1986, vol. 66, № 1, pp. 19 ‒ 31.
Основная цель данной работы ‒ получить представления для решений v(x,t) и u(x,t)
за-
дачи Коши (1)–(3) методом обратной задачи рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля
T ( t, k) y : y'' v( x, t) y 2 ku( x, t) y k 2 y 0, х (4)
В работах, 1,2,3 решена обратная задача рассеяния для квадратичного пучка операторов Штур- ма-Лиувилля (4).
Do'stlaringiz bilan baham: |